Критерій хі-квадрат Пірсона

Критерій узгодженості Пірсона — один з найвідоміших критеріїв ${\displaystyle \chi ^{2}}$, тому його часто і називають просто «критерій хі-квадрат». Використовується для перевірки гіпотези про закон розподілу.

Ґрунтується на групованих даних. Область значень передбачуваного розподілу ${\displaystyle \digamma _{1}}$ ділять на деяке число інтервалів.
Після чого будують функцію відхилення ρ по різницях теоретичних імовірностей потрапляння в інтервали групування й емпіричних частот.

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу ${\displaystyle \digamma }$. Перевіряється проста гіпотеза ${\displaystyle H_{1}={\digamma =\digamma _{1}}}$ проти складної альтернативи ${\displaystyle H_{2}={\digamma \neq \digamma _{1}}}$.
Нехай A₁,…, A_k — інтервали групування в області значень випадкової величини з розподілом ${\displaystyle \digamma _{1}}$.
Позначимо для j=1,…,k через ${\displaystyle \nu _{j}}$ число елементів вибірки, що потрапили в інтервал ${\displaystyle A_{j}}$:
${\displaystyle \nu _{j}=(X_{i}\in A_{j})=\sum _{i=1}^{n}I(X_{i}\in A_{j})}$,

і через ${\displaystyle p_{j}>0}$ — теоретичну ймовірність ${\displaystyle P_{H1}(X_{1}\in A_{j})}$ попадання в інтервал ${\displaystyle A_{j}}$ випадкової величини з розподілом ${\displaystyle \digamma _{1}}$.
З необхідністю, ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$.
Як правило, довжини інтервалів вибирають так, щоб ${\displaystyle p_{1}=...=p_{k}={\frac {1}{k}}}$.
Нехай ${\displaystyle \rho (X)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j})^{2}}{np_{j}}}}$ (1).

Зауваження

Якщо розподіл вибірки ${\displaystyle \digamma _{2}\neq \digamma _{1}}$ має такі ж, як в ${\displaystyle \digamma _{1}}$, імовірності ${\displaystyle p_{j}}$ попадання в кожний з інтервалів ${\displaystyle A_{l}}$, то по даній функції ${\displaystyle \rho }$ці розподіли розрізнити неможливо.
Тому насправді критерій, який ми побудуємо по функції ${\displaystyle \rho }$з (1), вирішує зовсім інше завдання. А саме, нехай заданий набір імовірностей ${\displaystyle p_{1},...,p_{k}}$ такий, що ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$. Критерій ${\displaystyle \chi ^{2}}$ призначений для перевірки складної гіпотези H₂^'={розподіл Х₁ має властивість: Р(Х₁ ∈ А_j)=p_j для всіх j=1,…,k} проти складної альтернативи H₂^'={H₁^' невірна}, тобто H₂^'={хоча б для одного з інтервалів ймовірність P(X₁ ∈ А_j) відізняється від p_j}

Правило критерію

Перед тим, як сформулювати правило прийняття або відкидання гіпотези необхідно врахувати, що критерій Пірсона має правобічну критичну область.

Теорема Пірсона

Якщо вірна гіпотеза H₁^', то при фіксованому k й при ${\displaystyle n\to \infty }$: ${\displaystyle \rho (X)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j})^{2}}{np_{j}}}\Rightarrow H_{k-1},}$

де, нагадаємо,${\displaystyle H_{k-1},}$ є ${\displaystyle \chi ^{2}}$-розподіл зі ${\displaystyle k-1}$ ступенем вільності.

Зауваження

Насправді критерій ${\displaystyle \chi ^{2}}$ застосовують і для розв'язку первісного завдання про перевірку гіпотези ${\displaystyle H_{1}={\digamma =\digamma _{1}}}$. Необхідно тільки пам'ятати, що цей критерій недостатній для альтернатив з тими ж імовірностями попадання в інтервали розбиття, що й в ${\displaystyle \digamma _{1}}$. Тому беруть велику кількість інтервалів розбиття — чим більше, тим краще, щоб «зменшити» число альтернатив, нерозрізнених з передбачуваним розподілом.

Критерій Пірсона для перевірки параметричної гіпотези

Критерій ${\displaystyle \chi ^{2}}$ часто застосовують для перевірки гіпотези про вид розподілу, тобто про приналежність розподілу вибірки деякому параметричному сімейству. Є вибірка ${\displaystyle X=(X_{1},...,X_{n})}$ з невідомого розподілу${\displaystyle \digamma }$ .
Перевіряється складна гіпотеза: ${\displaystyle H_{1}={\digamma \in {\digamma _{\theta }}}}$,

де ${\displaystyle \theta \epsilon \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{l}}$ — невідомий параметр (скалярний або векторний), l- його розмірність.
Нехай ${\displaystyle \mathbb {R} }$ розбите на k>lінтервалів ${\displaystyle A_{1}\cup ...\cup A_{k}}$, і ${\displaystyle \nu _{j}}$ — число елементів вибірки, що потрапили в${\displaystyle A_{j}}$. Але ймовірність ${\displaystyle p_{j}=P_{H1}(X_{1}\in A_{j})=p_{j}(\theta )}$ тепер залежить від невідомого параметра .
Функція відхилення (1) також залежить від невідомого параметра, і використовувати її в критерії Пірсона не можна — ми не можемо обчислити її значення: ${\displaystyle \rho (X,\theta )=\sum _{j=1}^{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j}(\theta ))^{2}}{np_{j}(\theta )}}}$(2.)
Нехай ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)}$- значення параметра ${\displaystyle \theta }$, що доставляє мінімум функції ${\displaystyle \rho (X,\theta )}$ при даній вибірці X .
Підставивши замість дійсних імовірностей p_jїх оцінки ${\displaystyle p_{j}({\hat {\theta }})}$ , одержимо функцію відхилення:${\displaystyle \rho (X,{\hat {\theta }})=\sum _{j=1}{k}{\frac {(\nu _{j}-np_{j}({\hat {\theta }}))^{2}}{np_{j}({\hat {\theta }})}}}$.

Див. також

• Критерій узгодженості Колмогорова

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, Физматлит. — 1973. — 899 с. (рос.)