Консервативні сили

Про політичне значення словосполучення читайте в статті Консерватизм.

Робота, яку виконує сила гравітації над тілом залежить лише від зміни висоти тіла, тому що сила гравітації є консервативною

Консервативні сили (потенціальні сили) — сили, для яких виконується закон збереження механічної енергії.

До неконсервативних сил належать, наприклад, сила Лоренца та сила тертя. Сила Лоренца залежить не від координати частки, а від її швидкості. Сили тертя є дисипативними силами, які розсіюють механічну енергію, перетворюючи її в теплову. Сили тертя протидіють рухові й теж загалом залежать від швидкості тіла.

Математичний опис

Силове поле F, визначене будь-де у просторі (або в межах однозв'язної області простору), називається консервативною силою або потенціальним векторним полем якщо воно відповідає одній з трьох тотожних вимог:

1. Ротор F є нульовим вектором:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\vec {0}}.\,}$

2. Підсумкова робота (W), виконана силою для пересування частинки по траєкторії яка починається і закінчується в одній точці, дорівнює нулю:

${\displaystyle W\equiv \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0.\,}$

3. Силу можна записати як градієнт потенціалу, ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi .\,}$

Доведення того, що ці три критерії тотожні коли F є силовим полем

Докладніше: Потенціальне векторне поле 1 тягне 2: Нехай C буде простим замкненим шляхом (тобто, шляхом, що починається і закінчується в одній точці і не має самоперетинів), і розглянемо поверхню S для якої C є межею. Теорема Стокса каже, що ${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ Якщо ротор F нульовий, то ліворуч маємо нуль і, отже, праворуч теж нуль — отже, твердження 2 істинне. 2 тягне 3: Припустимо, що 2 істинне. Нехай c буде простою кривою від початку координат до точки ${\displaystyle x}$ і визначимо функцію ${\displaystyle \Phi (x)=-\int _{c}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}.}$ Факт того, що ця функція однозначно визначена (незалежна від вибору c) випливає з твердження 2. Хоч як, з формулу Ньютона-Лейбніца, слідує що ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi .}$ Отже твердження 2 тягне . 3 тягне 1: Нарешті, припустимо, що третє твердження істинне. Векторне числення нам каже, що ротор градієнта будь-якої функції дорівнює нулю (${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }$). Отже, якщо виконується третє твердження, тоді перше твердження також мусить виконуватись. Це показує, що ${\displaystyle 1\Rightarrow 2,2\Rightarrow 3,3\Rightarrow 1.}$ Отже, доведено.

Термін консервативна сила з'явився як наслідок того, що коли діє консервативна сила, вона зберігає механічну енергію. Найвідоміші консервативні сили це гравітація, електростатична сила і сила пружної деформації.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.
• Лич Дж. У. Классическая механика. [ 9 квітня 2016 у Wayback Machine.] М.: Иностр. литература, 1961.