Закон Беца

Закон Беца (англ. Betz' law) — визначає максимальну енергію, яку можна отримати від «гідравлічного вітряного рушія», або . Закон Беца було відкрито 1919 року німецьким фізиком . За цим законом, вітряна турбіна може виробити не більше 16/27 або 59.259% від кінетичної енергії вітру.

Схема протікання рідини крізь дисковий привід

Просте пояснення

Закон Беца встановлює, що вітряна турбіна ніколи не може мати ККД більше за 59.259 %.

Цей закон ґрунтується на тому, що якщо вся енергія, що надходить від руху повітря в турбіні, буде перетворена на корисну енергію, то швидкість повітря за турбіною дорівнюватиме нулю. Але, якщо повітря зупинилось на виході з турбіни, то також має припинитись потік повітря через турбіну.

Для того, аби повітря рухалось крізь турбіну і віддавало енергію, необхідно відводити повітря за турбіною.

Різниця між кінетичною енергією повітря перед турбіною та енергією на відведення повітря за турбіною якраз і становить обчислене значення — 59,259 %.

Залежність коефіцієнта потужності від співвідношення швидкостей

Математичне обґрунтування

Відповідно до закону збереження енергії, кінетична енергія турбіни має становити:

${\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\rho Sv\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\rho S\left(v_{1}+v_{2}\right)\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)}$,

де: ${\displaystyle E}$ — енергія турбіни, ${\displaystyle m}$ — маса повітря, що проходить крізь турбіну, ${\displaystyle \rho }$ — питома вага; ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ — швидкість на вході і виході відповідно.

Диференціювання рівняння за змінною ${\displaystyle v=v_{2}/v_{1}}$ дозволяє віднайти максимум енергії при співвідношенні ${\displaystyle v=v_{2}/v_{1}=1/3}$. Відповідно, отримана енергія буде становити:

${\displaystyle P_{\max }={\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\cdot {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}.}$

Див. також

• Вітроенергетика

Примітки

1. Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.

Посилання

• Martin Kaltschmitt, Wolfgang Streicher, Andreas Wiese (2007). Renewable Energy: Technology, Economics and Environment. Springer. ISBN .