Зада́ча про гарма́тні я́дра (англ. cannonball problem) — задача про знаходження числа гарматних ядер, які можна вкласти і в один шар у формі квадрата, і у формі піраміди з квадратом в основі, тобто про знаходження квадратних чисел, які також є квадратними пірамідними числами. Знаходження цього числа зводиться до розв'язання діофантового рівняння або . Рівняння має два розв'язки: і , тобто одне гарматне ядро, і і тобто 4900 гарматних ядер.
Історія задачі
Питання вкладання гарматних ядер цікавили вже сера Волтера Релі та його сучасника Томаса Герріота, однак у наведеній вище формі задачу сформулював в 1875 року Едуар Люка, який припустив, що крім і розв'язків немає. Часткові доведення запропонували Море-Блан (1876) та сам Люка (1877). Перше повне доведення запропонував [ru] (1918); у доведенні використано еліптичні функції. Ще одне доведення, з використанням рівняння Пелля, запропонував [en] (1952). Доведення з використанням лише елементарних функцій запропонували Ма (1985) та Енглін (1990).
Доведення
Доведення Вотсона
Доведення Вотсона ґрунтується на спостереженні, що з трьох чисел , і одне має ділитися на 3; і або , або є парним; і що решта множників мають бути квадратами. Тому можливі шість варіантів:
Однак, оскільки при діленні на 3 може мати лише остачу 0 або 2, перший варіант призводить до суперечності. Аналогічно можна виключити другий, третій та четвертий варіанти.
П'ятий варіант приводить до розв'язку . Справді, можливо тільки при непарному , і тобто існують цілі числа і , такі що або . Однак, приводить до суперечності . Отже, , тобто, і . Як показав [ru], і є єдиними розв'язками останньої системи рівнянь. Випадок неможливий, оскільки ; випадок приводить до . Альтернативне доведення єдиності розв'язку у цьому випадку, наведене в розділі 6.8.2 книги Коена, використовує те, що розв'язками є тільки .
Доведення відсутності нетривіальних розв'язків у шостому варіанті потребує застосування еліптичних функцій. Дійсно, шостий варіант можна звести до вигляду . Замість цих рівнянь Вотсон розглядає загальніший випадок і показує, що розв'язки цих рівнянь мають задовольняти , де — невід'ємне ціле число, задана , , , а , , і — еліптичні функції Якобі. Далі Вотсон доводить, що чисельно дорівнює одиниці, тільки якщо , тобто , і єдиний можливий у цьому випадку розв'язок .
Доведення Ма
Доведення єдиності наведених вище розв'язків, запропоноване Ма, ґрунтується на послідовному доведенні таких тверджень:
- Єдиним парним розв'язком задачі про укладання ядер є . Дійсно, парність дозволяє виключити варіанти 1, 4 і 6 з довдення Вотсона, варіанти 2 і 3 призводять до суперечності (див. доведення Вотсона), а — єдиний розв'язок, можливий для варіанту 5.
- Нехай . Тоді для невід'ємних , має вигляд тільки для .
- Єдиним непарним , що задовольняє задачі про укладання ядер, є . Справді, міркуючи аналогічно доведенню Вотсона, непарне має задовольняти варіанту 6, тобто, . Оскільки для будь-якого , і , це також справедливо для . Підставляючи і замість і , отримаємо , тобто, . Оскільки породжує групу одиниць , існує таке, що , де визначено вище, а . Оскільки додатне, і, за визначенням , . За попередньою лемою, , тобто і .
Подробиці доведення наведено в розділі 6.8.2 книги Коена.
Узагальнення задачі
За винятком тривіального випадку , не існує числа гарматних ядер, які можна було б укласти у вигляді піраміди з квадратом у основі, і яке б при цьому одночасно було кубом, четвертим або п'ятим степенем натурального числа. Більш того, це справедливо для укладання ядер у вигляді правильного тетраедра.
Іншим узагальненням задачі є питання про знаходження числа ядер, які можна укласти у формі квадрата та зрізаної піраміди з квадратом у основі. Тобто шукають послідовних квадратів (не обов'язково починаючи з 1), сума яких є квадратом. Відомо, що множина таких нескінченна, має асимптотичну щільність нуль і для , які є квадратами, існує нескінченно багато розв'язків. Число елементів множини , що не перевищують , оцінюється як . Перші елементи множини та відповідні найменші значення , такі що є квадратом, наведено в таблиці:
Для і розв'язком є піфагорова трійка . Для і розв'язком є наведений вище розв'язок задачі про укладання гарматних ядер. Послідовність елементів множини — послідовність A001032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Ще одне узагальнення завдання розглянули Канеко і Татібана: замість питання про рівність суми перших квадратних чисел та іншого квадратного числа вони розглянули питання про рівність суми перших багатокутних чисел та іншого багатокутного числа і показали, що для будь-якого існує нескінченно багато послідовностей перших -кутних чисел, таких що їх сума дорівнює іншому багатокутному числу, і що для будь-якого існує нескінченна кількість -кутних чисел, подаваних у вигляді суми послідовностей перших багатокутних чисел. Більш того, Канеко та Татібана встановили, що для будь-якого натурального виконуються такі відношення:
де — -е -кутне число, а — -е -кутне пірамідне число, тобто, сума перших -кутних чисел.
Зв'язок з іншими галузями математики
Нетривіальний розв'язок призводить до побудови ґратки Ліча (яка, у свою чергу, пов'язана з різними галузями математики та теоретичної фізики — , монстром). Це робиться за допомогою парної унімодулярної ґратки у 25+1-вимірному псевдоевклідовому просторі. Розглянемо вектор цієї ґратки . Оскільки і — розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, цей вектор — світлоподібний, , звідки, зокрема, випливає, що він належить власному ортогональному доповненню . Згідно з Конвеєм, вектор дозволяє побудувати ґратку Ліча
- як фактор-множину , яка коректно визначена завдяки світлоподібності ;
- як множину всіх векторів таких, що . Такі вектори утворюють множину так званих фундаментальних коренів ґратки . У всіх випадках, коли можна таким способом побудувати множину фундаментальних коренів парної унімодулярної ґратки у псевдоевклідовому просторі , завжди можна використати цілочисловий вектор із просторовими компонентами, що йдуть підряд від нуля; а щоб ця множина утворювала ґратку, цей вектор має бути світлоподібним. І, оскільки — єдиний нетривіальний розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, то 24-вимірна ґратка Ліча — єдина ґратка, яку можна в такий спосіб отримати з .
Див. також
Примітки
- David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science. оригіналу за 23 грудня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
- Édouard Lucas. Question 1180. : [ 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вип. 14. — С. 336.
- Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. : [ 2 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вип. 15. — С. 46—48.
- Édouard Lucas. Question 1180. : [ 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вип. 15. — С. 429—432.
- G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid.. — Messenger Math. — 1918. — Вип. 48. — С. 1—22.
- Eric W. Weisstein. Cannonball Problem. MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). оригіналу за 18 липня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
- Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — (Problem Books in Mathematics) — .
- W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas. — Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вип. 34. — С. 65—72.
- D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation .. — Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вип. 4. — С. 107—116.
- W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle.. — Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вип. 97. — С. 120—124.
- C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton. — Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — С. 237—240.
- Henri Cohen. Number Theory. — 2007 : Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — .
- Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore : World Scientific, 2012. — P. 98. — .
- . A001032Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (англ.). оригіналу за 30 липня 2017. Процитовано 10 липня 2017.
- Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [ 1 вересня 2017] : ( )[англ.]. — Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — № 1. — С. 149—165.
- J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice. — Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163.
- J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed.. — Springer-Verlag New York, 1999. — , 978-0-387-98585-5.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zada cha pro garma tni ya dra angl cannonball problem zadacha pro znahodzhennya chisla garmatnih yader yaki mozhna vklasti i v odin shar u formi kvadrata i u formi piramidi z kvadratom v osnovi tobto pro znahodzhennya kvadratnih chisel yaki takozh ye kvadratnimi piramidnimi chislami Znahodzhennya cogo chisla zvoditsya do rozv yazannya diofantovogo rivnyannya n 1Nn2 M2 displaystyle sum n 1 N n 2 M 2 abo 16N N 1 2N 1 M2 displaystyle frac 1 6 N N 1 2N 1 M 2 Rivnyannya maye dva rozv yazki N 1 displaystyle N 1 i M 1 displaystyle M 1 tobto odne garmatne yadro i N 24 displaystyle N 24 i M 70 displaystyle M 70 tobto 4900 garmatnih yader Yedinij netrivialnij sposib ukladannya garmatnih yader u kvadrat i piramiduIstoriya zadachiPitannya vkladannya garmatnih yader cikavili vzhe sera Voltera Reli ta jogo suchasnika Tomasa Gerriota odnak u navedenij vishe formi zadachu sformulyuvav v 1875 roku Eduar Lyuka yakij pripustiv sho krim N 1 displaystyle N 1 i N 24 displaystyle N 24 rozv yazkiv nemaye Chastkovi dovedennya zaproponuvali More Blan 1876 ta sam Lyuka 1877 Pershe povne dovedennya zaproponuvav ru 1918 u dovedenni vikoristano eliptichni funkciyi She odne dovedennya z vikoristannyam rivnyannya Pellya zaproponuvav en 1952 Dovedennya z vikoristannyam lishe elementarnih funkcij zaproponuvali Ma 1985 ta Englin 1990 DovedennyaDovedennya Votsona Dovedennya Votsona gruntuyetsya na sposterezhenni sho z troh chisel N displaystyle N N 1 displaystyle N 1 i 2N 1 displaystyle 2N 1 odne maye dilitisya na 3 i abo N displaystyle N abo N 1 displaystyle N 1 ye parnim i sho reshta mnozhnikiv mayut buti kvadratami Tomu mozhlivi shist variantiv N 3a2 N 1 2b2 2N 1 c2 displaystyle N 3a 2 N 1 2b 2 2N 1 c 2 N 2a2 N 1 3b2 2N 1 c2 displaystyle N 2a 2 N 1 3b 2 2N 1 c 2 N 2a2 N 1 b2 2N 1 3c2 displaystyle N 2a 2 N 1 b 2 2N 1 3c 2 N a2 N 1 6b2 2N 1 c2 displaystyle N a 2 N 1 6b 2 2N 1 c 2 N 6a2 N 1 b2 2N 1 c2 displaystyle N 6a 2 N 1 b 2 2N 1 c 2 N a2 N 1 2b2 2N 1 3c2 displaystyle N a 2 N 1 2b 2 2N 1 3c 2 Odnak oskilki 2b2 displaystyle 2b 2 pri dilenni na 3 mozhe mati lishe ostachu 0 abo 2 pershij variant prizvodit do superechnosti Analogichno mozhna viklyuchiti drugij tretij ta chetvertij varianti P yatij variant privodit do rozv yazku N 24 displaystyle N 24 Spravdi N 6a2 N 1 b2 2N 1 c2 displaystyle N 6a 2 N 1 b 2 2N 1 c 2 mozhlivo tilki pri neparnomu c displaystyle c i c 1 c 1 12a2 displaystyle c 1 c 1 12a 2 tobto isnuyut cili chisla d displaystyle d i e displaystyle e taki sho 12 c 1 d2 12 c 1 3e2 a de displaystyle frac 1 2 c 1 d 2 frac 1 2 c 1 3e 2 a de abo 12 c 1 3d2 12 c 1 e2 a de displaystyle frac 1 2 c 1 3d 2 frac 1 2 c 1 e 2 a de Odnak 12 c 1 d2 12 c 1 3e2 a de displaystyle frac 1 2 c 1 d 2 frac 1 2 c 1 3e 2 a de privodit do superechnosti 3e2 d2 1 mod3 displaystyle 3e 2 d 2 equiv 1 pmod 3 Otzhe 12 c 1 3d2 12 c 1 e2 a de displaystyle frac 1 2 c 1 3d 2 frac 1 2 c 1 e 2 a de tobto c 1 6d2 c 1 2e2 displaystyle c 1 6d 2 c 1 2e 2 i c 1 2e2 c2 1 2b2 displaystyle c 1 2e 2 c 2 1 2b 2 Yak pokazav ru c 1 displaystyle c 1 i c 7 displaystyle c 7 ye yedinimi rozv yazkami ostannoyi sistemi rivnyan Vipadok c 1 displaystyle c 1 nemozhlivij oskilki N 0 displaystyle N 0 vipadok c 7 displaystyle c 7 privodit do N 24 displaystyle N 24 Alternativne dovedennya yedinosti rozv yazku N 24 displaystyle N 24 u comu vipadku navedene v rozdili 6 8 2 knigi Koena vikoristovuye te sho rozv yazkami y2 8x4 1 displaystyle y 2 8x 4 1 ye tilki 0 1 0 1 1 3 1 3 1 3 1 3 displaystyle 0 1 0 1 1 3 1 3 1 3 1 3 Dovedennya vidsutnosti netrivialnih rozv yazkiv u shostomu varianti potrebuye zastosuvannya eliptichnih funkcij Dijsno shostij variant mozhna zvesti do viglyadu 2b2 a2 1 2b2 a2 3c2 displaystyle 2b 2 a 2 1 2b 2 a 2 3c 2 Zamist cih rivnyan Votson rozglyadaye zagalnishij vipadok 2X2 Y2 Z2 2X2 Y2 3W2 displaystyle 2X 2 Y 2 Z 2 2X 2 Y 2 3W 2 i pokazuye sho rozv yazki cih rivnyan mayut zadovolnyati ZW 1 rsd 2r 1 b 32 displaystyle frac Z W 1 r operatorname sd 2r 1 beta sqrt frac 3 2 de r displaystyle r nevid yemne cile chislo b displaystyle beta zadana sn b 12 displaystyle operatorname sn beta frac 1 sqrt 2 cn b 12 displaystyle operatorname cn beta frac 1 sqrt 2 dn b 32 displaystyle operatorname dn beta frac sqrt 3 2 a sn displaystyle operatorname sn cn displaystyle operatorname cn dn displaystyle operatorname dn i sd displaystyle operatorname sd eliptichni funkciyi Yakobi Dali Votson dovodit sho Z displaystyle Z chiselno dorivnyuye odinici tilki yaksho r 0 displaystyle r 0 tobto X2 Y2 Z2 W2 1 displaystyle X 2 Y 2 Z 2 W 2 1 i yedinij mozhlivij u comu vipadku rozv yazok N 1 displaystyle N 1 Dovedennya Ma Dovedennya yedinosti navedenih vishe rozv yazkiv zaproponovane Ma gruntuyetsya na poslidovnomu dovedenni takih tverdzhen Yedinim parnim rozv yazkom zadachi pro ukladannya yader ye 24 70 displaystyle 24 70 Dijsno parnist n displaystyle n dozvolyaye viklyuchiti varianti 1 4 i 6 z dovdennya Votsona varianti 2 i 3 prizvodyat do superechnosti div dovedennya Votsona a 24 70 displaystyle 24 70 yedinij rozv yazok mozhlivij dlya variantu 5 Nehaj a 2 3 b 2 3 Mn an bn 2 displaystyle alpha 2 sqrt 3 beta 2 sqrt 3 M n alpha n beta n 2 Todi dlya nevid yemnih n displaystyle n Mn displaystyle M n maye viglyad 4x2 3 displaystyle 4x 2 3 tilki dlya n 2 displaystyle n 2 Yedinim neparnim N displaystyle N sho zadovolnyaye zadachi pro ukladannya yader ye N 1 displaystyle N 1 Spravdi mirkuyuchi analogichno dovedennyu Votsona neparne N displaystyle N maye zadovolnyati variantu 6 tobto N a2 N 1 2b2 2N 1 3c2 displaystyle N a 2 N 1 2b 2 2N 1 3c 2 Oskilki dlya bud yakogo x displaystyle x 4x 3 2 8 x 1 2x 1 1 displaystyle 4x 3 2 8 x 1 2x 1 1 i 4x 3 2 2x 1 1 displaystyle 4x 3 2 2x 1 1 ce takozh spravedlivo dlya N displaystyle N Pidstavlyayuchi 2b2 displaystyle 2b 2 i 3c2 displaystyle 3c 2 zamist x 1 displaystyle x 1 i 2x 1 displaystyle 2x 1 otrimayemo 2 3c2 1 2 8 2b2 3c2 1 displaystyle 2 3c 2 1 2 8 cdot 2b 2 cdot 3c 2 1 tobto 6c2 1 2 3 4bc 2 1 displaystyle 6c 2 1 2 3 4bc 2 1 Oskilki 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 porodzhuye grupu odinic Z 3 displaystyle mathbb Z sqrt 3 isnuye n Z displaystyle n in mathbb Z take sho 6c2 1 4bc3 Mn Gn3 displaystyle 6c 2 1 4bc sqrt 3 pm M n G n sqrt 3 de Mn displaystyle M n viznacheno vishe a Gn an bn a b displaystyle G n alpha n beta n alpha beta Oskilki Mn displaystyle M n dodatne Mn 6c2 1 displaystyle M n 6c 2 1 i za viznachennyam a displaystyle a Mn 4a2 3 displaystyle M n 4a 2 3 Za poperednoyu lemoyu n 2 Mn 7 displaystyle n 2 M n 7 tobto a 1 displaystyle a 1 i n 1 displaystyle n 1 Podrobici dovedennya navedeno v rozdili 6 8 2 knigi Koena Uzagalnennya zadachiZa vinyatkom trivialnogo vipadku N 1 displaystyle N 1 ne isnuye chisla garmatnih yader yaki mozhna bulo b uklasti u viglyadi piramidi z kvadratom u osnovi i yake b pri comu odnochasno bulo kubom chetvertim abo p yatim stepenem naturalnogo chisla Bilsh togo ce spravedlivo dlya ukladannya yader u viglyadi pravilnogo tetraedra Inshim uzagalnennyam zadachi ye pitannya pro znahodzhennya chisla yader yaki mozhna uklasti u formi kvadrata ta zrizanoyi piramidi z kvadratom u osnovi Tobto shukayut n displaystyle n poslidovnih kvadrativ ne obov yazkovo pochinayuchi z 1 suma yakih ye kvadratom Vidomo sho mnozhina S displaystyle S takih n displaystyle n neskinchenna maye asimptotichnu shilnist nul i dlya n displaystyle n yaki ye kvadratami isnuye neskinchenno bagato rozv yazkiv Chislo N x displaystyle N x elementiv mnozhini S displaystyle S sho ne perevishuyut x displaystyle x ocinyuyetsya yak c1x lt N x lt c2xln x displaystyle c 1 sqrt x lt N x lt c 2 frac x ln x Pershi elementi n displaystyle n mnozhini S displaystyle S ta vidpovidni najmenshi znachennya a displaystyle a taki sho k aa n 1k2 displaystyle sum k a a n 1 k 2 ye kvadratom navedeno v tablici Dlya n 2 displaystyle n 2 i a 3 displaystyle a 3 rozv yazkom ye pifagorova trijka 32 42 52 displaystyle 3 2 4 2 5 2 Dlya n 24 displaystyle n 24 i a 1 displaystyle a 1 rozv yazkom ye navedenij vishe rozv yazok zadachi pro ukladannya garmatnih yader Poslidovnist elementiv mnozhini S displaystyle S poslidovnist A001032 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS She odne uzagalnennya zavdannya rozglyanuli Kaneko i Tatibana zamist pitannya pro rivnist sumi pershih kvadratnih chisel ta inshogo kvadratnogo chisla voni rozglyanuli pitannya pro rivnist sumi pershih bagatokutnih chisel ta inshogo bagatokutnogo chisla i pokazali sho dlya bud yakogo m 3 displaystyle m geqslant 3 isnuye neskinchenno bagato poslidovnostej pershih m displaystyle m kutnih chisel takih sho yih suma dorivnyuye inshomu bagatokutnomu chislu i sho dlya bud yakogo n 3 displaystyle n geqslant 3 isnuye neskinchenna kilkist n displaystyle n kutnih chisel podavanih u viglyadi sumi poslidovnostej pershih bagatokutnih chisel Bilsh togo Kaneko ta Tatibana vstanovili sho dlya bud yakogo naturalnogo k displaystyle k vikonuyutsya taki vidnoshennya Pyrm 3 m 2 k 2 G9k 2 m 2 2k m 3 displaystyle Pyr m 3 m 2 k 2 G 9k 2 m 2 2 k m 3 Pyrm 3k 1 G m 2 k 3 3k 1 displaystyle Pyr m 3k 1 G m 2 k 3 3k 1 Pyrm 6k 3 G4 m 2 2k 1 6 3k 1 displaystyle Pyr m 6k 3 G 4 m 2 2k 1 6 3k 1 Gn n 2 k2 3k 1 Pyr3k 2 n 2 k 2 displaystyle G n n 2 k 2 3k 1 Pyr 3k 2 n 2 k 2 Gn 8k2 6k 1 Pyr3 n 2 k 2 4k 2 displaystyle G n 8k 2 6k 1 Pyr 3 n 2 k 2 4k 2 de Gm n displaystyle G m n n displaystyle n e m displaystyle m kutne chislo a Pyrm n displaystyle Pyr m n n displaystyle n e m displaystyle m kutne piramidne chislo tobto suma n displaystyle n pershih m displaystyle m kutnih chisel Zv yazok z inshimi galuzyami matematikiNetrivialnij rozv yazok N 24 displaystyle N 24 prizvodit do pobudovi gratki Licha yaka u svoyu chergu pov yazana z riznimi galuzyami matematiki ta teoretichnoyi fiziki monstrom Ce robitsya za dopomogoyu parnoyi unimodulyarnoyi gratki II25 1 displaystyle mathrm II 25 1 u 25 1 vimirnomu psevdoevklidovomu prostori Rozglyanemo vektor ciyeyi gratki w 0 1 2 23 24 70 displaystyle w 0 1 2 ldots 23 24 70 Oskilki N 24 displaystyle N 24 i M 70 displaystyle M 70 rozv yazok zadachi pro vkladannya garmatnih yader cej vektor svitlopodibnij w w 0 displaystyle w cdot w 0 zvidki zokrema viplivaye sho vin nalezhit vlasnomu ortogonalnomu dopovnennyu w displaystyle w bot Zgidno z Konveyem vektor w displaystyle w dozvolyaye pobuduvati gratku Licha yak faktor mnozhinu w II25 1 w displaystyle w bot cap mathrm II 25 1 w yaka korektno viznachena zavdyaki svitlopodibnosti w displaystyle w yak mnozhinu vsih vektoriv r II25 1 displaystyle r in mathrm II 25 1 takih sho r r 2 r w 1 displaystyle r cdot r 2 r cdot w 1 Taki vektori utvoryuyut mnozhinu tak zvanih fundamentalnih koreniv gratki II25 1 displaystyle mathrm II 25 1 U vsih vipadkah koli mozhna takim sposobom pobuduvati mnozhinu fundamentalnih koreniv parnoyi unimodulyarnoyi gratki u psevdoevklidovomu prostori IIn 1 displaystyle mathrm II n 1 zavzhdi mozhna vikoristati cilochislovij vektor iz prostorovimi komponentami sho jdut pidryad vid nulya a shob cya mnozhina utvoryuvala gratku cej vektor maye buti svitlopodibnim I oskilki N 24 displaystyle N 24 yedinij netrivialnij rozv yazok zadachi pro vkladannya garmatnih yader to 24 vimirna gratka Licha yedina gratka yaku mozhna v takij sposib otrimati z IIn 1 displaystyle mathrm II n 1 Div takozhShilne pakuvannya rivnih sferPrimitkiDavid Darling Cannonball Problem The Internet Encyclopedia of Science originalu za 23 grudnya 2017 Procitovano 6 lipnya 2017 Edouard Lucas Question 1180 1 veresnya 2017 Nouv Ann Math 1875 Vip 14 S 336 Claude Seraphin Moret Blanc Question 1180 2 veresnya 2017 Nouv Ann Math 1876 Vip 15 S 46 48 Edouard Lucas Question 1180 1 veresnya 2017 Nouv Ann Math 1877 Vip 15 S 429 432 G N Watson The Problem of the Square Pyramid Messenger Math 1918 Vip 48 S 1 22 Eric W Weisstein Cannonball Problem MathWorld A Wolfram Web Resource angl originalu za 18 lipnya 2017 Procitovano 6 lipnya 2017 Richard K Guy Unsolved Problems in Number Theory K A Bencsath P R Halmos 3rd Springer P 223 224 Problem Books in Mathematics ISBN 978 1 4419 1928 1 W Ljunggren New solution of a problem proposed by E Lucas Norsk Mat Tid 1952 Vip 34 S 65 72 D G Ma An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation 6y2 x x 1 2x 1 displaystyle 6y 2 x x 1 2x 1 Sichuan Daxue Xuebao 1985 Vip 4 S 107 116 W S Anglin The Square Pyramid Puzzle Amer Math Monthly 1990 Vip 97 S 120 124 C C Gerono Demonstration d une formule dont on peut deduire comme cas particulier le binome de Newton Nouvelles annales de mathematiques journal des candidats aux ecoles polytechnique et normale 1857 S 237 240 Henri Cohen Number Theory 2007 Springer T Volume I Tools and Diophantine Equations P 424 427 ISBN 978 0 387 49922 2 Elena Deza Michel Marie Deza Figurate Numbers Singapore World Scientific 2012 P 98 ISBN 981 4355 48 8 A001032Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers 1 is a square The On Line Encyclopedia of Integer Sequences angl originalu za 30 lipnya 2017 Procitovano 10 lipnya 2017 Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana When is a polygonal pyramid number again polygonal 1 veresnya 2017 angl Rocky Mountain Journal of Mathematics 2002 1 S 149 165 J H Conway The automorphism group of the 26 dimensional even unimodular Lorentzian lattice Journal of Algebra 1983 Vol 80 P 159 163 J H Conway N J A Sloane 26 Lorentzian Forms for the Leech Lattice 27 The Automorphism Group of the 26 Dimensional Lorentzian Lattice Sphere Packings Lattices and Groups 3rd ed Springer Verlag New York 1999 ISBN 978 1 4757 6568 7 978 0 387 98585 5