Ейнштейнів запис підсумовування

Нотація Ейнштейна (Правило сумування Ейнштейна) — позначення підсумовування індексованих величин, при якому знак суми ${\displaystyle \Sigma }$ опускається.

Нотація була запроваджена Альбертом Ейнштейном для запису формул загальної теорії відносності в 1916 році. Пізніше вона поширилася на інші галузі фізики й математики.

При застосуванні нотації Ейнштейна діє правило: якщо індекс повторяється внизу і вгорі, тобто, як коваріантний і контраваріантний, то це означає підсумовування. Наприклад,

${\displaystyle a_{i}b^{i}=\sum _{i=0}^{3}a_{i}b^{i}}$,

де ${\displaystyle a_{i}}$ та ${\displaystyle b_{i}}$ - довільні 4-вектори.

Нотація може застосовуватися і до одного 4-тензора. Так, позначення ${\displaystyle T_{i}^{i}}$ - означає суму діагональних елементів 4-тензора ${\displaystyle T_{i}^{j}}$.

В тензорному аналізі, зокрема в його додатках до загальної теорії відносності і диференційної геометрії, при записі виразів з багатокомпонентних величин, пронумерованих верхніми і нижніми індексами (тензорів), для економії запису зручно використовувати правило, назване правило сумування Ейнштейна: якщо одна і та ж буква в позначенні індексу зустрічається і зверху, і знизу, то такий член вважається підсумованим по всіх значеннях цієї букви, наприклад у виразі

${\displaystyle v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}}$

Просторові індекси

В теорії відносності діє також правило, за яким індекси 4-тензорів позначаються латинськими літерами. Якщо потрібно виділити тільки просторові компоненти 4-тензорів, то вживаються грецькі літери. Наприклад, позначення ${\displaystyle g^{0\alpha }}$ - означає звичайний вектор у тривимірному просторі, компоненти якого складені з компонент 4-тензора ${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle g^{0\alpha }=(g^{01},g^{02},g^{03})}$.

Відповідно, повторення грецьких індексів вгорі й унизу означає підсумовування по цих індексах:

${\displaystyle a_{\alpha }b^{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}a_{\alpha }b^{\alpha }}$.