Матриця є діагонально панівною якщо для кожного рядку, величина діагонального елементу кожного рядка більша або дорівнює сумі величин усіх інших (недіагональних) елементів цього рядка. Точніше, у матриці панівна діагональ якщо
Зауважте, що це визначення послуговується слабкою нерівністю і, через це іноді його називають слабке діагональне панування. Якщо використати строгу нерівність (>), його називають строге діагональне панування. Термін діагональне панування може означати як строге так і слабке діагональне панування, залежно від контексту.
Приклади
Матриця
дає
- оскільки
- оскільки
- оскільки .
Через те, що величина кожного діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин елементів у рядку, кажуть, що матриця діагонально панівна або має панівну діагональ.
Матриця
Але тут,
- оскільки
- оскільки
- оскільки .
З того, що величини і менші ніж величини сум елементів у відповідних рядках, не є діагонально панівною.
Матриця
дає
- оскільки
- оскільки
- оскільки .
Тут, у кожному рядку, величина діагонального елементу більша ніж відповідна сума елементів рядка, є строго діагонально панівною матрицею.
Застосування і властивості
Строго діагонально панівна матриця є оборотною. Цей результат можна довести, використовуючи .
Ермітова матриця з панівною діагоналлю з дійсними невід'ємними діагональними елементами є невід'ємно означеною.
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
Примітки
- Наприклад, Horn and Johnson (1985, p. 349) використовують це для позначення слабкого діагонального панування.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matricya ye diagonalno panivnoyu yaksho dlya kozhnogo ryadku velichina diagonalnogo elementu kozhnogo ryadka bilsha abo dorivnyuye sumi velichin usih inshih nediagonalnih elementiv cogo ryadka Tochnishe u matrici A displaystyle A panivna diagonal yaksho a i i j i a i j i displaystyle a ii geq sum j neq i a ij forall i Zauvazhte sho ce viznachennya poslugovuyetsya slabkoyu nerivnistyu i cherez ce inodi jogo nazivayut slabke diagonalne panuvannya Yaksho vikoristati strogu nerivnist gt jogo nazivayut stroge diagonalne panuvannya Termin diagonalne panuvannya mozhe oznachati yak stroge tak i slabke diagonalne panuvannya zalezhno vid kontekstu PrikladiMatricya A 3 2 1 1 3 2 1 2 4 displaystyle mathbf A begin bmatrix 3 amp 2 amp 1 1 amp 3 amp 2 1 amp 2 amp 4 end bmatrix daye a 11 a 12 a 13 displaystyle a 11 geq a 12 a 13 oskilki 3 2 1 displaystyle 3 geq 2 1 a 22 a 21 a 23 displaystyle a 22 geq a 21 a 23 oskilki 3 1 2 displaystyle 3 geq 1 2 a 33 a 31 a 32 displaystyle a 33 geq a 31 a 32 oskilki 4 1 2 displaystyle 4 geq 1 2 Cherez te sho velichina kozhnogo diagonalnogo elementu bilsha abo dorivnyuye sumi velichin elementiv u ryadku kazhut sho matricya A displaystyle mathbf A diagonalno panivna abo maye panivnu diagonal Matricya B 2 2 1 1 3 2 1 2 0 displaystyle mathbf B begin bmatrix 2 amp 2 amp 1 1 amp 3 amp 2 1 amp 2 amp 0 end bmatrix Ale tut b 11 lt b 12 b 13 displaystyle b 11 lt b 12 b 13 oskilki 2 lt 2 1 displaystyle 2 lt 2 1 b 22 b 21 b 23 displaystyle b 22 geq b 21 b 23 oskilki 3 1 2 displaystyle 3 geq 1 2 b 33 lt b 31 b 32 displaystyle b 33 lt b 31 b 32 oskilki 0 lt 1 2 displaystyle 0 lt 1 2 Z togo sho velichini b 11 displaystyle b 11 i b 33 displaystyle b 33 menshi nizh velichini sum elementiv u vidpovidnih ryadkah B displaystyle mathbf B ne ye diagonalno panivnoyu Matricya C 4 2 1 1 6 2 1 2 5 displaystyle mathbf C begin bmatrix 4 amp 2 amp 1 1 amp 6 amp 2 1 amp 2 amp 5 end bmatrix daye c 11 c 12 c 13 displaystyle c 11 geq c 12 c 13 oskilki 4 gt 2 1 displaystyle 4 gt 2 1 c 22 c 21 c 23 displaystyle c 22 geq c 21 c 23 oskilki 6 gt 1 2 displaystyle 6 gt 1 2 c 33 c 31 c 32 displaystyle c 33 geq c 31 c 32 oskilki 5 gt 1 2 displaystyle 5 gt 1 2 Tut u kozhnomu ryadku velichina diagonalnogo elementu bilsha nizh vidpovidna suma elementiv ryadka C displaystyle mathbf C ye strogo diagonalno panivnoyu matriceyu Zastosuvannya i vlastivostiStrogo diagonalno panivna matricya ye oborotnoyu Cej rezultat mozhna dovesti vikoristovuyuchi Ermitova matricya z panivnoyu diagonallyu A displaystyle A z dijsnimi nevid yemnimi diagonalnimi elementami ye nevid yemno oznachenoyu DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros PrimitkiNapriklad Horn and Johnson 1985 p 349 vikoristovuyut ce dlya poznachennya slabkogo diagonalnogo panuvannya