Гіпотеза ван дер Вардена

Не плутати з теоремою ван дер Вардена.

Гіпотеза ван дер Вардена — доведена математична гіпотеза про властивості значень перманента двічі стохастичної матриці ${\displaystyle S}$ порядку ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}}$,

причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли всі ${\displaystyle S}$ рівні ${\displaystyle 1/n}$.

Висловлена ван дер Варденом 1926 року; фахівців багато років намагались її довести: гіпотезу безпосередньо перевірено для ${\displaystyle n\leqslant 5}$, 1959 року доведено, що, якщо перманент на множині всіх двічі стохастичних ${\displaystyle n}$-матриць досягає на деякій матриці без нульових елементів мінімуму, то він дорівнює ${\displaystyle n!/n^{n}}$. Повністю довели радянські математики ^[en]1980 року (з застосуванням нерівності Александрова — Фенхеля про змішаний об'єм) і, незалежно, 1981 року (також з використанням геометричних методів, роботу подано до опублікування 1979 року); за ці результати обох учених відзначено 1982 року .

Примітки

1. B. L. van der Varden. Aufgabe 45, Jber. Deutsch. Math. Verein. 35 (1926), 117
2. Егорычев Г. П.  Решение проблемы Ван дер Вардена для перманентов // ^[ru], препринт ИФСО-13М. — Красноярск, 1980. — 16 червня.
3. Егорычев Г. П. Решение проблемы Ван-дер-Вардена для перманентов // . — 1981. — Т. 258, № 5 (16 червня). — С. 1041—1044. з джерела 23 квітня 2021. Процитовано 23 квітня 2021.
4. Фаликман Д. И. Доказательство гипотезы Ван дер Вардена о перманенте дважды стохастической матрицы // . — 1981. — Т. 29, № 6 (16 червня). — С. 931—938. з джерела 23 квітня 2021. Процитовано 23 квітня 2021.

Література

• Минк Х. Перманенты. — М. : Мир, 1982. — 211 с.