Гіпотеза Рамануджана

Гіпотеза Рамануджана — висловлене С. Рамануджаном припущення щодо величини коефіцієнтів Фур'є ${\displaystyle \tau (n)}$ функції ${\displaystyle \Delta }$ (параболічна форми ваги 12). Функція ${\displaystyle \Delta }$ є власна функція ^[en], ${\displaystyle \tau (n)}$ — відповідні власні значення.

Рамануджан припустив, що вони задовольняють нерівності:

${\displaystyle |\tau (p)|\leqslant 2p^{11/2},}$

де ${\displaystyle p}$ — просте.

При цьому функцію ${\displaystyle \tau (n)}$ називають функцією Рамануджана.

^[de] узагальнив гіпотезу Рамануджана на випадок власних значень операторів Гекке модулярних форм ваги ${\displaystyle k}$, де ціле ${\displaystyle k\geqslant 2}$. Це так звана гіпотеза Петерсона.

Пізніше П'єр Делінь звів гіпотезу Петерсона до гіпотези Вейля, яку згодом сам і довів у 1974 році. Відповідно, цим була доведена й гіпотеза, висунута Рамануджаном.

Література

• Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916. — v. 22.
• Делинь П. Успехи математических наук. — 1975. — т. 30. — в. 5. — с. 159—190.
• Фоменко, О. М. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М. : , 1977. — Т. 15. — С. 5—91.