Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:
- Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в -вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?
Висунув [pl] . Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадків[⇨] та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникало. Однак знайдено контрприклад[⇨].
Станом на 2023 доведено, що гіпотеза істинна при , і хибна для , статус твердження для залишається нез'ясованим.
Сприятливі розв'язки
Випадок очевидний. Випадок довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом [hu] 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра . Крім того, Борсук довів, що -вимірну кулю не можна розділити на частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).
[en] довів справедливість гіпотези при всіх для опуклих тіл із гладкою межею.
[pl] довів випадок для всіх обмежених тіл, незалежно від нього цей самий результат отримав британський математик ; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і ; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.
Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний -вимірний симплекс.
установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок, він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях.
Число Борсука
Число Борсука — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в -вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для . Порівняно легко отримані оцінки і . з'ясував, що .
Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка [en] (1965): ; [en] показав, що:
- .
Заперечні розв'язки
Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року [en] і [en], які побудували контрприклад у розмірності та довели невиконання гіпотези для всіх . Крім того, вони показали, що для досить великих , існують -вимірні тіла, які не можна розбити на частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:
- 1993 — (Калаї — Кан),
- 1994 — (Ніллі),
- 1997 — (Вайсбах — Грей),
- 1997 — (Райгородський),
- 2000 — (Вайсбах),
- 2001 — (Гінрігз),
- 2002 — (Піхурко),
- 2003 — (Гінрігз — Ріхтер),
- 2013 — (Бондаренко),
- 2013 — (Єнріх).
Для побудови контприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результати. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — , у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до .
Варіації та узагальнення
[en] висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:
- ,
тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тілом.
1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при .
цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь.
2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі з евклідовою метрикою та з метрикою .
2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові.
Примітки
- Райгородский, 2006, с. 27.
- Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.
- Грюнбаум, 1971, с. 62.
- B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45 (19 червня). — С. 301–306.
- B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52 (19 червня). — С. 64–73.
- J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1 (19 June). — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.
- А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318) (19 червня). — С. 181—182.
- A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270 (19 червня). — С. 137—147. з джерела 27 вересня 2007.
- Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — 19 червня. — arXiv:1305.2584.
- Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — 19 червня. — arXiv:1308.0206.
- Райгородский, 2006.
- Райгородский, 2006, с. 16.
- А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83. з джерела 9 січня 2021.
- А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5 (19 червня). — С. 58—63.
- А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1 (19 червня). — С. 81—90.
- , . Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.
Література
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка) (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М. : Наука, 1971. — 88 с.
- Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
- А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М. : МЦНМО, 2006. — 56 с.
- А. Б. Скопенков. -мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вип. 3 (3) (19 червня).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gipoteza Borsuka zadacha Borsuka sprostovana gipoteza v kombinatornij geometriyi Rozrizannya vidrizka trikutnika ta tetraedra na chastini menshogo diametra Chi mozhlivo dovilne tilo skinchennogo odinichnogo diametra v n displaystyle n vimirnomu evklidovomu prostori rozbiti na ne bilsh nizh n 1 displaystyle n 1 chastinu tak sho diametr kozhnoyi chastini bude menshim za 1 Visunuv pl Vidigrala znachnu rol u rozvitku kombinatornoyi geometriyi XX stolittya protyagom trivalogo periodu gipotezu pidtverdzheno dlya nizki okremih vipadkiv ta osnovni zusillya buli spryamovani na poshuk doveden u zagalnomu vipadku oskilki vagomih sumniviv u yiyi spravedlivosti ne vinikalo Odnak znajdeno kontrpriklad Stanom na 2023 dovedeno sho gipoteza istinna pri n 3 displaystyle n leqslant 3 i hibna dlya n 64 displaystyle n geqslant 64 status tverdzhennya dlya 4 n lt 64 displaystyle 4 leqslant n lt 64 zalishayetsya nez yasovanim Rozrizannya pravilnogo shestikutnika shirini 1 na 3 chastini diametrom menshe nizh 1 Spriyatlivi rozv yazkiVipadok n 1 displaystyle n 1 ochevidnij Vipadok n 2 displaystyle n 2 doviv 1933 roku sam Borsuk skoristavshis rezultatom hu 1929 roku zgidno z yakim bud yaku figuru diametra 1 mozhna pomistiti v pravilnij shestikutnik shirini 1 a takij shestikutnik u svoyu chergu dopuskaye rozrizannya na tri p yatikutniki diametra 3 2 lt 1 displaystyle tfrac sqrt 3 2 lt 1 Krim togo Borsuk doviv sho n displaystyle n vimirnu kulyu ne mozhna rozdiliti na n displaystyle n chastin menshogo diametra tim samim zatverdivshi nizhnyu ocinku kilkosti chastin dovedennya gruntuyetsya na teoremi Borsuka Ulyama en doviv spravedlivist gipotezi pri vsih n displaystyle n dlya opuklih til iz gladkoyu mezheyu pl doviv vipadok n 3 displaystyle n 3 dlya vsih obmezhenih til nezalezhno vid nogo cej samij rezultat otrimav britanskij matematik proste dovedennya podibnij do Borsukovogo znajshli piznishe Branko Gryunbaumom i voni doveli sho bud yake tilo diametra 1 mozhna pomistiti u pevnij oktaedr z vidsichenimi troma vershinami yakij u svoyu chergu dopuskaye rozbittya na 4 chastini diametra menshe 0 9888 Shonajmenshe vid pochatku 1970 ih rokiv gipotezu pidtverdzheno dlya centralno simetrichnih til 1971 roku Klod Rodzhers doviv gipotezu dlya bud yakoyi mnozhini invariantnoyi vidnosno diyi grupi peretvoren yaki zalishayut na misci pravilnij n displaystyle n vimirnij simpleks ustanoviv spravedlivist gipotezi dlya opuklih til z poyasom iz regulyarnih tochok vin pozitivno rozv yazav zadachu dlya vsih til obertannya v dovilnih rozmirnostyah Chislo BorsukaChislo Borsuka f n displaystyle f n najmensha kilkist mozhlivih chastin menshogo diametra na yaki mozhna rozbiti bud yake obmezhene tilo v n displaystyle n vimirnomu prostori Paralelno z pidtverdzhennyam gipotezi f n n 1 displaystyle f n n 1 v okremih vipadkah pokrashuvalisya nizhni ta verhni ocinki dlya f n displaystyle f n Porivnyano legko otrimani ocinki f n 2 n 1 n displaystyle f n leqslant 2 sqrt n 1 n i f n 2 n displaystyle f n leqslant 2 n z yasuvav sho f n 2 n 1 1 displaystyle f n leqslant 2 n 1 1 Sered asimptotichnih verhnih ocinok dovgij chas najkrashoyu bula ocinka en 1965 f n 2 o 1 n displaystyle f n leqslant big sqrt 2 o 1 big n en pokazav sho f n 3 2 o 1 n displaystyle f n leqslant Big sqrt tfrac 3 2 o 1 Big n Zaperechni rozv yazkiZaperechnij rozv yazok zadachi v zagalnomu vipadku viyavili 1993 roku en i en yaki pobuduvali kontrpriklad u rozmirnosti n 1325 displaystyle n 1325 ta doveli nevikonannya gipotezi dlya vsih n gt 2014 displaystyle n gt 2014 Krim togo voni pokazali sho dlya dosit velikih n displaystyle n isnuyut n displaystyle n vimirni tila yaki ne mozhna rozbiti na 1 203 o 1 n displaystyle big 1 203 o 1 big sqrt n chastin menshogo diametra V nastupni roki rozmirnist vishe vid yakoyi gipoteza ne vikonuyetsya poslidovno znizhuvalasya 1993 n 2015 displaystyle n geqslant 2015 Kalayi Kan 1994 n 946 displaystyle n geqslant 946 Nilli 1997 n 903 displaystyle n geqslant 903 Vajsbah Grej 1997 n 561 displaystyle n geqslant 561 Rajgorodskij 2000 n 560 displaystyle n geqslant 560 Vajsbah 2001 n 324 displaystyle n geqslant 324 Ginrigz 2002 n 323 displaystyle n geqslant 323 Pihurko 2003 n 298 displaystyle n geqslant 298 Ginrigz Rihter 2013 n 65 displaystyle n geqslant 65 Bondarenko 2013 n 64 displaystyle n geqslant 64 Yenrih Dlya pobudovi kontprikladiv u vsih vipadkah vikoristano skinchenni mnozhini ta tonki kombinatorni rezultati Nizhni ocinki dlya najmenshogo chisla chastin menshogo diametra v bilshosti kontrprikladiv 1 203 o 1 n displaystyle big 1 203 o 1 big sqrt n u odnomu z rezultativ Rajgorodskogo 1999 cyu ocinku pokrasheno do 1 225 5 o 1 n displaystyle big 1 2255 o 1 big sqrt n Variaciyi ta uzagalnennya en visunuv gipotezu sho bud yake tilo odinichnogo diametra v trivimirnomu prostori dopuskaye rozbittya na 4 chastini z diametrom 3 3 6 0 888 displaystyle sqrt frac 3 sqrt 3 6 approx 0 888 tobto kulya ye najgirshim u comu sensi tilom 1971 roku gipotezu Borsuka pidtverdzheno dlya sferichnogo ta giperbolichnogo prostoriv pri n 2 3 displaystyle n 2 3 cej rezultat uzagalneno na dovilni rozmirnosti dlya centralno simetrichnih opuklih giperpoverhon 2012 roku vivcheno analogi problemi Borsuka u prostori Q n displaystyle mathbb Q n z evklidovoyu metrikoyu ta z metrikoyu l p displaystyle l p 2019 roku rozglyanuto pitannya pro rozbittya dovilnih obmezhenih metrichnih prostoriv na zadanu kilkist pidmnozhin menshogo diametra ta viyavleno kriteriyi zdijsnennosti ta nezdijsnennosti takogo rozbittya zalezhno vid vidstani za metrikoyu Gromova Gausdorfa vid zadanogo prostoru do simpleksiv zadanoyi potuzhnosti de pid simpleksom rozumiyut metrichnij prostir u yakomu vsi nenulovi vidstani odnakovi PrimitkiRajgorodskij 2006 s 27 Boltyanskij Gohberg 1965 s 34 Gryunbaum 1971 s 62 B V Dekster The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points Geometriae Dedicata 1993 T 45 19 chervnya S 301 306 B V Dekster The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution Journal of Geometry 1995 T 52 19 chervnya S 64 73 J Kahn G Kalai A counterexample to Borsuk s conjecture Bull Amer Math Soc N S 1993 Vol 29 no 1 19 June P 60 62 arXiv math MG 9307229 A M Rajgorodskij O razmernosti v probleme Borsuka UMN 1997 T 52 6 318 19 chervnya S 181 182 A Hinrichs C Richter New sets with large Borsuk numbers Discrete Mathematics 2003 T 270 19 chervnya S 137 147 z dzherela 27 veresnya 2007 Andriy V Bondarenko On Borsuk s conjecture for two distance sets 2013 19 chervnya arXiv 1305 2584 Thomas Jenrich A 64 dimensional two distance counterexample to Borsuk s conjecture 2013 19 chervnya arXiv 1308 0206 Rajgorodskij 2006 Rajgorodskij 2006 s 16 A S Rissling Problema Borsuka v prostranstvah postoyannoj krivizny Ukrainskij geometricheskij sbornik Harkov T 11 S 78 83 z dzherela 9 sichnya 2021 A D Milka Analog problemy Borsuka Izvestiya vuzov Seriya matematicheskaya 1992 5 19 chervnya S 58 63 A B Kupavskij E I Ponomarenko A M Rajgorodskij O nekotoryh analogah problemy Borsuka v prostranstve Q n displaystyle mathbb Q n Trudy MFTI 2012 T 12 1 19 chervnya S 81 90 Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov Hausdorff Distances to Simplexes arXiv 1906 10574v1 LiteraturaV G Boltyanskij I C Gohberg Teoremy i zadachi kombinatornoj geometrii M Nauka 1965 108 s Matematicheskaya bibliotechka mistit dovedennya gipotezi v rozmirnostyah 2 i 3 V G Boltyanskij I C Gohberg Razbienie figur na menshie chasti seriya Populyarnye lekcii po matematike vypusk 50 M Nauka 1971 88 s B Gryunbaum Etyudy po kombinatornoj geometrii i teorii vypuklyh tel M Nauka 1971 A M Rajgorodskij Problema Borsuka M MCNMO 2006 56 s A B Skopenkov n displaystyle n mernyj kub mnogochleny i reshenie problemy Borsuka Matematicheskoe prosveshenie M MCNMO 1999 Vip 3 3 19 chervnya