Група одиниць

Не плутати з Одиничний елемент.

Оборотний елемент, також одиниця кільця чи дільник одиниці — будь-який елемент ${\displaystyle \mathbf {a} }$ кільця, для якого існує обернений елемент, тобто є такий елемент ${\displaystyle \mathbf {b} }$, що ${\displaystyle {\mathbf {a} }{\mathbf {b} }={\mathbf {b} }{\mathbf {a} }=1}$.

Множина всіх О. е. (одиниць кільця) утворює мультиплікативну групу, яку називають групою одиниць або групою О. е..

Якщо ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — дільник одиниці, тоді елементи ${\displaystyle {\mathbf {a} }x}$ і ${\displaystyle x{\mathbf {a} }}$ називаються асоційованими з ${\displaystyle x}$.

Зазвичай поняття дільника одиниці й асоційованого елемента вживається для областей цілісності.

Приклади

• В кільці цілих чисел два дільники одиниці: ${\displaystyle +1}$ і ${\displaystyle -1}$.
• В кільці лишків по модулю m, оборотними елементами є лишки взаємно прості з модулем m. Вони утворюють мультиплікативну групу кільця лишків.
• В кільці гаусових цілих чисел чотири дільники одиниці: ${\displaystyle +1,\ -1,\ i,\ -i}$.
• В кільці багаточленів над полем будь-який ненульовий елемент поля коефіцієнтів (як багаточлен нульового степеня) є дільником одиниці.

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)