Гребінець Дірака

Гребінець Дірака це періодичний розподіл Шварца, що сконструйований з дельта-функцій

Гребінець Дірака — нескінченний ряд

${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$

для якогось періоду T.

Ряди Фур'є

Очевидно, що Δ_T(t) періодична з періодом T. Тому

${\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\,}$

для всіх t. Комплексний ряд Фур'є для такої періодичної функції

${\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }$

де коефіцієнти Фур'є, c_n є

${\displaystyle c_{n}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }$

Всі коефіцієнти Фур'є є 1/T тому

${\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}$.

Посилання

• Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (вид. revised), McGraw-Hill; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), Dirac combs, Letters in Mathematical Physics, 17: 191—196