У теорії графів граф одиничних кругів — граф перетинів сімейства одиничних кругів на евклідовій площині. Тобто ми утворюємо вершину для кожного круга і з'єднуємо дві вершини ребром, якщо відповідні круги перетинаються.
Характеристики
Можливі кілька варіантів визначення графа одиничних кругів, еквівалентних з точністю до вибору коефіцієнта:
- Граф перетинів кругів або кіл однакового радіуса.
- Граф, сформований з набору кіл однакового радіуса, в якому два кола з'єднані ребром, якщо центр одного кола лежить всередині іншого.
- Граф, утворений з набору точок на евклідовій площині, в якому дві точки з'єднані ребром, якщо відстань між цими точками менша від певного порогу.
Властивості
Будь-який породжений підграф графа одиничних кругів є також графом одиничних кругів. Прикладом графа, що не є графом одиничних кругів, є зірка із центральною вершиною, з'єднаною зі сімома листками — якщо кожен із семи кругів дотикається до центрального круга, якась пара кругів має дотикатися між собою (оскільки контактне число на площині дорівнює 6). Таким чином, граф одиничних кругів не може містити як породжений підграф.
Застосування
Починаючи з праці Г'юсона і Сена (Huson, Sen, 1995), графи одиничних кругів використовують у інформатиці для моделювання топології бездротових децентралізованих самоорганізовуваних мереж. У цьому додатку вершини з'єднані прямим бездротовим зв'язком без базової станції . Передбачається, що всі вершини однорідні і мають [en] . Розташування антен моделюється точками на евклідовій площині, а область де сигнал може бути отриманий іншою вершиною, моделюється кругом. Якщо всі вершини мають передавачі однакової потужності, ці кола матимуть один і той самий радіус. Випадкові геометричні графи, утворені як графи одиничних кіл із випадковими центрами, можна використовуватиме моделювання фільтрації та інших явищ.
Обчислювальна складність
Задача про те, чи можна представити абстрактно заданий граф у вигляді графа одиничних кругів є NP-складною (точніше, повною для ). Крім того, доведено неможливість за поліноміальний час знайти певні координати одиничних кругів: існують графи одиничних кругів, що вимагають експоненційного числа бітів точності в будь-якому такому поданні.
Однак багато важливих і складних задач оптимізації на графах, таких як задача про незалежну множину, розфарбовування графів і задача про мінімальну домінівну множину можна ефективно апроксимувати за допомогою використання геометричної структури цих графів, а задачу про кліку для цих графів можна точно розв'язати за поліноміальний час, якщо задано подання у вигляді кругів. Точніше, для заданого графа за поліноміальний час можна знайти максимальну кліку, або довести, що граф не є графом одиничних кругів.
Якщо дана множина вершин утворює підмножину трикутної ґратки, необхідна і достатня умова досконалості графа відома. Для досконалих графів багато NP-повних задач оптимізації (задача розфарбовування графа, задача про максимальну кліку і задача про незалежну множину) можна розв'язати за поліноміальний час.
Див. також
- [en], узагальнення графа одиничних кругів, утворює конструкцію в топологічному просторі більшого порядку з одиничних відстаней у метричному просторі.
- Граф одиничних відстаней, утворений з'єднанням точок, розташованих на відстані рівно одиниця, а не на відстані меншій від одиниці (як у графах одиничних кругів).
Примітки
- Див., наприклад, працю Даля і Крістенсена (Dall, Christensen, 2002).
- Breu, Kirkpatrick, 1998.
- Kang, Müller, 2011.
- McDiarmid, Mueller, 2011.
- Marathe et al, 1994.
- Matsui, 2000.
- Clark, Colbourn, Johnson, 1990.
- Raghavan, Spinrad, 2003.
- Miyamoto, Matsui, 2005.
Посилання
- Heinz Breu, David G. Kirkpatrick. Unit disk graph recognition is NP-hard // Computational Geometry Theory and Applications. — 1998. — Т. 9, вип. 1–2. — С. 3–24.
- Brent N. Clark, Charles J. Colbourn, David S. Johnson. Unit disk graphs // . — 1990. — Т. 86, вип. 1–3. — С. 165–177. — DOI: .
- Jesper Dall, Michael Christensen. Random geometric graphs // Phys. Rev. E. — 2002. — Т. 66. — С. 016121. — arXiv:cond-mat/0203026. — DOI: .
- Mark L. Huson, Arunabha Sen. Military Communications Conference, IEEE MILCOM '95. — 1995. — Т. 2. — С. 647–651. — . — DOI: .
- Ross J. Kang, Tobias Müller. Proceedings of the Twenty-Seventh Annual Symposium on Computational Geometry (SCG'11), June 13–15, 2011, Paris, France. — 2011. — С. 308–314.
- Madhav V. Marathe, Heinz Breu, Harry B. Hunt, III, S. S. Ravi, Daniel J. Rosenkrantz. Geometry based heuristics for unit disk graphs. — 1994. — arXiv:math.CO/9409226.
- Tomomi Matsui. Approximation Algorithms for Maximum Independent Set Problems and Fractional Coloring Problems on Unit Disk Graphs // Lecture Notes in Computer Science. — 2000. — Т. 1763. — С. 194–200. — (Lecture Notes in Computer Science). — . — DOI: .
- Colin McDiarmid, Tobias, Mueller. Integer realizations of disk and segment graphs. — 2011. — arXiv:1111.2931.
- Yuichiro Miyamoto, Tomomi Matsui. Perfectness and Imperfectness of the kth Power of Lattice Graphs // Lecture Notes in Computer Science. — 2005. — Т. 3521. — С. 233–242. — (Lecture Notes in Computer Science). — . — DOI: .
- Vijay Raghavan, Jeremy Spinrad. Robust algorithms for restricted domains // Journal of Algorithms. — 2003. — Т. 48, вип. 1. — С. 160–172. — DOI: .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi grafiv graf odinichnih krugiv graf peretiniv simejstva odinichnih krugiv na evklidovij ploshini Tobto mi utvoryuyemo vershinu dlya kozhnogo kruga i z yednuyemo dvi vershini rebrom yaksho vidpovidni krugi peretinayutsya Nabir kil odinichnogo radiusa i vidpovidnij graf HarakteristikiMozhlivi kilka variantiv viznachennya grafa odinichnih krugiv ekvivalentnih z tochnistyu do viboru koeficiyenta Graf peretiniv krugiv abo kil odnakovogo radiusa Graf sformovanij z naboru kil odnakovogo radiusa v yakomu dva kola z yednani rebrom yaksho centr odnogo kola lezhit vseredini inshogo Graf utvorenij z naboru tochok na evklidovij ploshini v yakomu dvi tochki z yednani rebrom yaksho vidstan mizh cimi tochkami mensha vid pevnogo porogu VlastivostiBud yakij porodzhenij pidgraf grafa odinichnih krugiv ye takozh grafom odinichnih krugiv Prikladom grafa sho ne ye grafom odinichnih krugiv ye zirka K1 7 displaystyle K 1 7 iz centralnoyu vershinoyu z yednanoyu zi simoma listkami yaksho kozhen iz semi krugiv dotikayetsya do centralnogo kruga yakas para krugiv maye dotikatisya mizh soboyu oskilki kontaktne chislo na ploshini dorivnyuye 6 Takim chinom graf odinichnih krugiv ne mozhe mistiti K1 7 displaystyle K 1 7 yak porodzhenij pidgraf ZastosuvannyaPochinayuchi z praci G yusona i Sena Huson Sen 1995 grafi odinichnih krugiv vikoristovuyut u informatici dlya modelyuvannya topologiyi bezdrotovih decentralizovanih samoorganizovuvanih merezh U comu dodatku vershini z yednani pryamim bezdrotovim zv yazkom bez bazovoyi stanciyi Peredbachayetsya sho vsi vershini odnoridni i mayut en Roztashuvannya anten modelyuyetsya tochkami na evklidovij ploshini a oblast de signal mozhe buti otrimanij inshoyu vershinoyu modelyuyetsya krugom Yaksho vsi vershini mayut peredavachi odnakovoyi potuzhnosti ci kola matimut odin i toj samij radius Vipadkovi geometrichni grafi utvoreni yak grafi odinichnih kil iz vipadkovimi centrami mozhna vikoristovuvatime modelyuvannya filtraciyi ta inshih yavish Obchislyuvalna skladnistZadacha pro te chi mozhna predstaviti abstraktno zadanij graf u viglyadi grafa odinichnih krugiv ye NP skladnoyu tochnishe povnoyu dlya Krim togo dovedeno nemozhlivist za polinomialnij chas znajti pevni koordinati odinichnih krugiv isnuyut grafi odinichnih krugiv sho vimagayut eksponencijnogo chisla bitiv tochnosti v bud yakomu takomu podanni Odnak bagato vazhlivih i skladnih zadach optimizaciyi na grafah takih yak zadacha pro nezalezhnu mnozhinu rozfarbovuvannya grafiv i zadacha pro minimalnu dominivnu mnozhinu mozhna efektivno aproksimuvati za dopomogoyu vikoristannya geometrichnoyi strukturi cih grafiv a zadachu pro kliku dlya cih grafiv mozhna tochno rozv yazati za polinomialnij chas yaksho zadano podannya u viglyadi krugiv Tochnishe dlya zadanogo grafa za polinomialnij chas mozhna znajti maksimalnu kliku abo dovesti sho graf ne ye grafom odinichnih krugiv Yaksho dana mnozhina vershin utvoryuye pidmnozhinu trikutnoyi gratki neobhidna i dostatnya umova doskonalosti grafa vidoma Dlya doskonalih grafiv bagato NP povnih zadach optimizaciyi zadacha rozfarbovuvannya grafa zadacha pro maksimalnu kliku i zadacha pro nezalezhnu mnozhinu mozhna rozv yazati za polinomialnij chas Div takozh en uzagalnennya grafa odinichnih krugiv utvoryuye konstrukciyu v topologichnomu prostori bilshogo poryadku z odinichnih vidstanej u metrichnomu prostori Graf odinichnih vidstanej utvorenij z yednannyam tochok roztashovanih na vidstani rivno odinicya a ne na vidstani menshij vid odinici yak u grafah odinichnih krugiv PrimitkiDiv napriklad pracyu Dalya i Kristensena Dall Christensen 2002 Breu Kirkpatrick 1998 Kang Muller 2011 McDiarmid Mueller 2011 Marathe et al 1994 Matsui 2000 Clark Colbourn Johnson 1990 Raghavan Spinrad 2003 Miyamoto Matsui 2005 PosilannyaHeinz Breu David G Kirkpatrick Unit disk graph recognition is NP hard Computational Geometry Theory and Applications 1998 T 9 vip 1 2 S 3 24 Brent N Clark Charles J Colbourn David S Johnson Unit disk graphs 1990 T 86 vip 1 3 S 165 177 DOI 10 1016 0012 365X 90 90358 O Jesper Dall Michael Christensen Random geometric graphs Phys Rev E 2002 T 66 S 016121 arXiv cond mat 0203026 DOI 10 1103 PhysRevE 66 016121 Mark L Huson Arunabha Sen Military Communications Conference IEEE MILCOM 95 1995 T 2 S 647 651 ISBN 0 7803 2489 7 DOI 10 1109 MILCOM 1995 483546 Ross J Kang Tobias Muller Proceedings of the Twenty Seventh Annual Symposium on Computational Geometry SCG 11 June 13 15 2011 Paris France 2011 S 308 314 Madhav V Marathe Heinz Breu Harry B Hunt III S S Ravi Daniel J Rosenkrantz Geometry based heuristics for unit disk graphs 1994 arXiv math CO 9409226 Tomomi Matsui Approximation Algorithms for Maximum Independent Set Problems and Fractional Coloring Problems on Unit Disk Graphs Lecture Notes in Computer Science 2000 T 1763 S 194 200 Lecture Notes in Computer Science ISBN 978 3 540 67181 7 DOI 10 1007 978 3 540 46515 7 16 Colin McDiarmid Tobias Mueller Integer realizations of disk and segment graphs 2011 arXiv 1111 2931 Yuichiro Miyamoto Tomomi Matsui Perfectness and Imperfectness of the kth Power of Lattice Graphs Lecture Notes in Computer Science 2005 T 3521 S 233 242 Lecture Notes in Computer Science ISBN 978 3 540 26224 4 DOI 10 1007 11496199 26 Vijay Raghavan Jeremy Spinrad Robust algorithms for restricted domains Journal of Algorithms 2003 T 48 vip 1 S 160 172 DOI 10 1016 S0196 6774 03 00048 8