Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Гра Пенні — нетранзитивний парадокс, який знайшов [fr].
Опис
Опис парадоксу вперше опубліковано в жовтні 1969 року в журналі Journal of Recreational Mathematics. Суть парадоксу така: нехай А і Б грають у таку гру — спочатку А вибирає довільну двійкову послідовність (наприклад, з нулів та одиниць) довжини 3 і показує її гравцю Б. Потім Б робить те саме. Далі гравці будують випадкову двійкову послідовність, у якій поява 0 і 1 рівноймовірна (наприклад, кидають монету, вважаючи випадання за 1 і решки за 0). Виграє той гравець, чия послідовність зустрінеться в цій випадковій послідовності раніше. Наприклад, нехай гравець А вибрав трійку 001, а гравець Б — трійку 100. Нехай при 5-разовому киданні монети вийшла випадкова послідовність 10100. Останні 3 цифри в ній — 100 — збігаються з трійкою, яку вибрав гравець Б, а трійка А не з'явилася, тому після 5-го кидання монети гравець Б виграє. Парадокс полягає в тому, що для будь-якої трійки гравця А знайдеться така трійка, яка виграє в неї з імовірністю більше 1/2. Тобто немає найсильнішої трійки, для будь-якої трійки знайдеться сильніша, яка виграє в неї з імовірністю, більше половини. Шанси на виграш у гравця Б в гіршому випадку дорівнюють 2/3. Якщо від трійок перейти до четвірок результатів, то шанси гравця Б на виграш стануть ще вищими. Мартін Гарднер з цього поводу пише:
Ситуація ця маловідома, і більшість математиків просто не можуть повірити в неї, коли чують про відкриття Пенні. Це — найкрасивіше обдурювання (якщо обдурювання може бути красивим), розраховане на простака.Оригінальний текст (рос.)Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.— Гарднер Мартин. «Путешествие во времени»
У таблиці наведено ймовірність виграшу гравця Б із різними початковими трійками:
- АБ
000 001 010 011 100 101 110 111 000 1/2 2/5 2/5 1/8 5/12 3/10 1/2 001 1/2 2/3 2/3 1/4 5/8 1/2 7/10 010 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12 011 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8 100 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 101 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5 110 7/10 1/2 5/8 1/4 2/3 2/3 1/2 111 1/2 3/10 5/12 1/8 2/5 2/5 1/2
Щоб відшукати виграшну трійку, у верхньому рядку таблиці знайдіть трійку гравця А, а в її стовпці шукайте найбільше число. У рядку із цим числом у лівому стовпці стоятиме трійка гравця Б, яка виграє проти заданої трійки гравця А з найбільшою ймовірністю. Наприклад, нехай гравець А вибрав трійку 000. У 1 стовпці таблиці шукаємо найбільше число, це 7/8. У лівому стовпчику рядка з числом 7/8 читаємо трійку гравця Б 100, яка виграє проти трійки 000 із ймовірністю 7/8. Дійсно: якщо при киданні монети послідовність не починається на 000, то коли ця трійка вперше з'явиться у випадковій послідовності, їй буде передувати 1, а це означає, що трійка 100 зустрілася раніше, і гравець Б виграв. Трійка 000 виграє проти трійки 100, тільки якщо 000 зустрінеться на початку випадкової послідовності, а ймовірність цього дорівнює 1/8.
Оптимальну стратегію для першого гравця (для будь-якої довжини послідовності не менше 4) знайшов угорський математик та криптограф Янош Чирік.
Див. також
Примітки
- Гарднер Мартин. Путешествие во времени = Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. — М. : «Мир», 1990. — С. 75. — 341 с. — .
- János A. Csirik. Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game // Combinatorics, Probability and Computing. — Cambridge University Press, 1992. — Вип. 1 (16 липня). — С. 311—321. — DOI:.
Посилання
- Сергей Мельников. Прыжок через козла // Наука и жизнь. — 1997. — Вип. 5. — С. 62-64. У цьому оповіданні студенти мехмату ДДУ (нині ДНУ — Дніпровський національний університет) отримують залік із фізкультури, скориставшись парадоксом Пенні.
- Daniel Felix. Optimal Penney Ante Strategy via Correlation Polynomial Identities // The electronic journal of combinatorics. — 2006. — Вип. 13.
- Walter Penney. Problem 95: Penney-Ante // Journal of Recreational Mathematics. — 1974. — С. 321.
- Raymond S. Nickerson. Penney Ante: Counterintuitive Probabilities in Coin Tossing // The UMAP Journal. — 2007. — Вип. 4. — С. 503–532. з джерела 4 березня 2016.
- J. M. Cargal. Chapter 35. Mixed Chains // Discrete Mathematics for Neophytes: Number Theory, Probability, Algorithms, and Other Stuff. — 1988.
- Roland Backhouse. First-past-the-post Games
- Певзнер П. Лучшее пари для простаков // Квант. — 1987. — № 5. — С. 4—15.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gra Penni netranzitivnij paradoks yakij znajshov fr OpisOpis paradoksu vpershe opublikovano v zhovtni 1969 roku v zhurnali Journal of Recreational Mathematics Sut paradoksu taka nehaj A i B grayut u taku gru spochatku A vibiraye dovilnu dvijkovu poslidovnist napriklad z nuliv ta odinic dovzhini 3 i pokazuye yiyi gravcyu B Potim B robit te same Dali gravci buduyut vipadkovu dvijkovu poslidovnist u yakij poyava 0 i 1 rivnojmovirna napriklad kidayut monetu vvazhayuchi vipadannya za 1 i reshki za 0 Vigraye toj gravec chiya poslidovnist zustrinetsya v cij vipadkovij poslidovnosti ranishe Napriklad nehaj gravec A vibrav trijku 001 a gravec B trijku 100 Nehaj pri 5 razovomu kidanni moneti vijshla vipadkova poslidovnist 10100 Ostanni 3 cifri v nij 100 zbigayutsya z trijkoyu yaku vibrav gravec B a trijka A ne z yavilasya tomu pislya 5 go kidannya moneti gravec B vigraye Paradoks polyagaye v tomu sho dlya bud yakoyi trijki gravcya A znajdetsya taka trijka yaka vigraye v neyi z imovirnistyu bilshe 1 2 Tobto nemaye najsilnishoyi trijki dlya bud yakoyi trijki znajdetsya silnisha yaka vigraye v neyi z imovirnistyu bilshe polovini Shansi na vigrash u gravcya B v girshomu vipadku dorivnyuyut 2 3 Yaksho vid trijok perejti do chetvirok rezultativ to shansi gravcya B na vigrash stanut she vishimi Martin Gardner z cogo povodu pishe Situaciya cya malovidoma i bilshist matematikiv prosto ne mozhut poviriti v neyi koli chuyut pro vidkrittya Penni Ce najkrasivishe obduryuvannya yaksho obduryuvannya mozhe buti krasivim rozrahovane na prostaka Originalnij tekst ros Situaciya eta maloizvestna i bolshinstvo matematikov prosto ne mogut poverit v neyo kogda slyshat ob otkrytii Penni Eto zavedomo samoe krasivoe naduvatelstvo esli naduvatelstvo mozhet byt krasivym rasschitannoe na prostaka Gardner Martin Puteshestvie vo vremeni U tablici navedeno jmovirnist vigrashu gravcya B iz riznimi pochatkovimi trijkami AB 000 001 010 011 100 101 110 111 000 1 2 2 5 2 5 1 8 5 12 3 10 1 2 001 1 2 2 3 2 3 1 4 5 8 1 2 7 10 010 3 5 1 3 1 2 1 2 1 2 3 8 7 12 011 3 5 1 3 1 2 1 2 1 2 3 4 7 8 100 7 8 3 4 1 2 1 2 1 2 1 3 3 5 101 7 12 3 8 1 2 1 2 1 2 1 3 3 5 110 7 10 1 2 5 8 1 4 2 3 2 3 1 2 111 1 2 3 10 5 12 1 8 2 5 2 5 1 2 Shob vidshukati vigrashnu trijku u verhnomu ryadku tablici znajdit trijku gravcya A a v yiyi stovpci shukajte najbilshe chislo U ryadku iz cim chislom u livomu stovpci stoyatime trijka gravcya B yaka vigraye proti zadanoyi trijki gravcya A z najbilshoyu jmovirnistyu Napriklad nehaj gravec A vibrav trijku 000 U 1 stovpci tablici shukayemo najbilshe chislo ce 7 8 U livomu stovpchiku ryadka z chislom 7 8 chitayemo trijku gravcya B 100 yaka vigraye proti trijki 000 iz jmovirnistyu 7 8 Dijsno yaksho pri kidanni moneti poslidovnist ne pochinayetsya na 000 to koli cya trijka vpershe z yavitsya u vipadkovij poslidovnosti yij bude pereduvati 1 a ce oznachaye sho trijka 100 zustrilasya ranishe i gravec B vigrav Trijka 000 vigraye proti trijki 100 tilki yaksho 000 zustrinetsya na pochatku vipadkovoyi poslidovnosti a jmovirnist cogo dorivnyuye 1 8 Optimalnu strategiyu dlya pershogo gravcya dlya bud yakoyi dovzhini poslidovnosti ne menshe 4 znajshov ugorskij matematik ta kriptograf Yanosh Chirik Div takozhParadoksPrimitkiGardner Martin Puteshestvie vo vremeni Time Travel and Other Mathematical Bewilderments M Mir 1990 S 75 341 s ISBN 5 03 001166 8 Janos A Csirik Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game Combinatorics Probability and Computing Cambridge University Press 1992 Vip 1 16 lipnya S 311 321 DOI 10 1017 S0963548300000365 PosilannyaSergej Melnikov Pryzhok cherez kozla Nauka i zhizn 1997 Vip 5 S 62 64 U comu opovidanni studenti mehmatu DDU nini DNU Dniprovskij nacionalnij universitet otrimuyut zalik iz fizkulturi skoristavshis paradoksom Penni Daniel Felix Optimal Penney Ante Strategy via Correlation Polynomial Identities The electronic journal of combinatorics 2006 Vip 13 Walter Penney Problem 95 Penney Ante Journal of Recreational Mathematics 1974 S 321 Raymond S Nickerson Penney Ante Counterintuitive Probabilities in Coin Tossing The UMAP Journal 2007 Vip 4 S 503 532 z dzherela 4 bereznya 2016 J M Cargal Chapter 35 Mixed Chains Discrete Mathematics for Neophytes Number Theory Probability Algorithms and Other Stuff 1988 Roland Backhouse First past the post Games Pevzner P Luchshee pari dlya prostakov Kvant 1987 5 S 4 15