Гелікоїд

Геліко́їд (від грец. ἕλιξ — «витий» і εἶδος — «подібний») — гвинтова мінімальна поверхня, яка описується параметричними співвідношеннями:

${\displaystyle \ x=u\cos v}$

${\displaystyle \ y=u\sin v}$

${\displaystyle \ z=hv}$

і утворюється рухом прямої, що обертається навколо перпендикулярної до неї осі і одночасно поступально рухається в напряму цієї осі, причому швидкості цих рухів пропорційні.

Властивості

• Геликоїд є
  • мінімальною поверхнею
  • лінійчатою поверхнею.

Анімація показує перетворення гелікоїда в катеноїд.

• Невелику ділянку гелікоїда можна ізометрично (тобто без стиску і розтягу) гладко продеформувати в ділянку катеноїда.

Параметричне рівняння такої деформації задається системою

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\operatorname {sh} v\,\sin u+\sin \theta \,\operatorname {ch} v\,\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\operatorname {sh} v\,\cos u+\sin \theta \,\operatorname {ch} v\,\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$

для ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$, з параметром деформації ${\displaystyle -\pi <\theta \leqslant \pi }$,

де ${\displaystyle \theta =\pi }$ відповідає правому гелікоїду, ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$ відповідає катеноїду та ${\displaystyle \theta =0}$ відповідає лівому гелікоїду.

Див. також

• (Поверхня Діні)
• (Прямий коноїд)
• Лінійчата поверхня

Посилання

• Weisstein, Eric W. Helicoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Helicoid, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Інтерактивний 3D гелікоїд, на основі WebGL [ 31 травня 2017 у Wayback Machine.]