Від'ємна частота

Поняття від'ємної і додатної частоти можна показати на прикладі вектора, що обертається в той чи інший бік: частота зі знаком може позначати швидкість і напрямок обертання. Швидкість виражена в оборотах (циклах) за секунду (герцах) або рад/с (де 1 цикл відповідає ${\displaystyle 2\pi }$ радіан).

Синусоїди

Нехай ${\displaystyle \omega }$ - це невід'ємний параметр, що вимірюється в рад/с. Тоді кутова функція (кут від часу) ${\displaystyle -\omega t+\theta }$, має нахил ${\displaystyle -\omega }$, який називають від'ємною частотою. Але коли функція використовується як аргумент для косинуса, результат невідрізненний від ${\displaystyle \cos(\omega t-\theta )}$. Аналогічно, ${\displaystyle \sin(-\omega t+\theta )}$ невідрізненний від ${\displaystyle \sin(\omega t-\theta +\pi ).}$ Тому, будь-яку синусоїду можна представити через додатні частоти. Знак нахилу фази, що лежить в основі - неоднозначний.

Від'ємна частота спричиняє те, що ${\displaystyle sin}$ випереджає ${\displaystyle \cos }$ на 1/4 циклу.

Вектор (cos t, sin t) обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю 1 рад/с і завершує кожен цикл за ${\displaystyle 2\pi }$ секунд. Вектор (cos −t, sin −t) обертається в іншому напрямку (тут не показано).

Неоднозначність розв'язується коли косинус і синус можна спостерігати одночасно, бо ${\displaystyle \cos(\omega t+\theta )}$ випереджає ${\displaystyle \sin(\omega t+\theta )}$ на 1/4 циклу (${\displaystyle =\pi /2}$ радіан) коли ${\displaystyle \omega >0,}$ і відстає на 1/4 циклу коли ${\displaystyle \omega <0.}$ Аналогічно, вектор, ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$, обертається проти часової стрілки зі швидкістю 1 рад/с і завершує кожен цикл кожні ${\displaystyle 2\pi }$ секунди, а вектор ${\displaystyle \cos -t,\sin t)}$ обертається в зворотньому напрямку.

Знак ${\displaystyle \omega }$ також зберігається комплексно-значимою функцією:

${\displaystyle e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},}$

(Рів.1)

бо ${\displaystyle R(t)}$ і ${\displaystyle I(t)}$ можна виокремити і порівняти. Хоча ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ очевидно містить більше інформації ніж кожен з її компонентів, звичайна інтерпретація така, що це простіша функція, бо:

• Вона спрощує багато тригономеричних обчислень, що призвело до її формального опису як ${\displaystyle \cos(\omega t).}$
• Наслідком рівняння Рів.1 є:

${\displaystyle \cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}),}$

(Рів.2)

з цього видно, що ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ недостатньо для визначення знаку ${\displaystyle \omega .}$