Визначники Гурвіца були вперше введені Адольфом Гурвіцом у 1895 році який використав їх для критерію того що всі корені

Визначники Гурвіца були вперше введені Адольфом Гурвіцом у 1895 році, який використав їх для критерію того що всі корені многочлена мають від'ємну дійсну частину.

Визначення

Розглянемо характеристичний многочлен P зі змінною λ у вигляді:

P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}

де $a_{i}$ , $i=0,1,\ldots ,n$ є дійсними.

Квадратна матриця Гурвіца, що асоціюється з P наведена нижче:

H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &0&\dots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&\vdots &&\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&0&&\vdots \\\vdots &a_{0}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &0&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.

i-тий визначник Гурвіца це визначник i-го головного мінору матриці Гурвіца H. Існує n визначників Гурвіца для характеристичного многочлена степеня n.

Див. також

Критерій стійкості Гурвіца

Посилання

Hurwitz, A. (1895), Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt, Mathematische Annalen, 46 (2), doi:10.1007/BF01446812
Wall, H. S. (1945), Polynomials whose zeros have negative real parts, The American Mathematical Monthly, 52: 308—322, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305291, MR 0012709