Вектор (математика та фізика)

Вектор (від лат. vector, «той, що несе») — у найпростішому випадку математичний об'єкт, який характеризується величиною і напрямком. Наприклад, у геометрії і в природничих науках вектор є спрямований відрізок прямої в евклідовому просторі (або на площині).

Вектор
Підтримується Вікіпроєктом
Вектор у Вікісховищі

Приклади: радіус-вектор, швидкість, момент сили. Якщо в просторі задана система координат, то вектор однозначно задається набором своїх координат. Тому в математиці, інформатиці та інших науках упорядкований набір чисел часто теж називають вектором. У більш загальному сенсі вектор у математиці розглядається як елемент деякого векторного (лінійного) простору.

Є одним з основоположних понять лінійної алгебри. При використанні найбільш загального означення векторами виявляються практично всі досліджувані в лінійній алгебрі об'єкти, зокрема матриці, тензори, однак, за наявності в навколишньому контексті цих об'єктів, під вектором мають на увазі відповідно вектор-рядок або вектор-стовпець, тензор першого рангу. Властивості операцій над векторами вивчаються у векторному численні.

Позначення

Вектор, представлений набором ${\displaystyle n}$ елементів (компонент) ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ позначають такими способами:

${\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}}$.

Для того, щоб підкреслити, що це вектор (а не скаляр), використовують риску або стрілку вгорі, жирний або готичний шрифт:

${\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.}$

Сума векторів майже завжди позначається знаком плюс:

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$.

Множення на число — просто написанням поруч, без спеціального знака, наприклад:

${\displaystyle k{\vec {b}}}$,

причому число зазвичай пишуть зліва.

Множення на матрицю також позначають написанням поруч, без спеціального знака, але тут перестановка співмножників у загальному випадку впливає на результат. Дія лінійного оператора на вектор також позначається написанням оператора зліва, без спеціального знака.

Історія

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрямок і (необов'язково) точку прикладання. Зачатки векторного числення з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел (Гаусс, 1831). Розвинені операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонного числення (вектор утворювали уявні компоненти кватерніона). Гамільтон запропонував сам термін вектор (лат. vector, «той що несе») і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл у своїх працях з електромагнетизму, тим самим привернувши увагу вчених до нового числення. Незабаром вийшли «Елементи векторного аналізу» Гіббса (1880-ті роки), а потім Гевісайд (1903) надав векторному аналізу сучасного вигляду.

Вектор як послідовність

Докладніше: Кортеж (інформатика)

Вектор — (послідовність, кортеж) однорідних елементів. Це найбільш загальне означення в тому сенсі, що може бути не задано звичайних векторних операцій взагалі, їх може бути менше, або вони можуть не задовольняти звичайним аксіомам лінійного простору. Саме в такому вигляді вектор розглядається в програмуванні, де, як правило, позначається ім'ям-ідентифікатором з квадратними дужками (наприклад, object []). Перелік властивостей моделює прийняте в теорії систем визначення класу і стану об'єкта. Так типи елементів вектора визначають клас об'єкта, а значення елементів — його стан. Втім, ймовірно, це вживання терміна вже виходить за рамки зазвичай прийнятого як в алгебрі, так і в математиці взагалі.

Арифметичним вектором називається впорядкована сукупність n чисел. Позначається ${\displaystyle {\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ називаються компонентами арифметичного вектора. Множина арифметичних векторів, для яких визначені операції додавання і множення на число називається простором арифметичних векторів ${\displaystyle R^{n}}$.

Див. також

• Скаляр
• Векторний добуток

Посилання

• Вектори // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 50-54. — 594 с.