Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxoTDBKaGMybHpYMmR5WVhCb1h5VXlPRzV2WDJ4aFltVnNKVEk1TG5OMlp5ODFNREJ3ZUMxQ1lYTnBjMTluY21Gd2FGOGxNamh1YjE5c1lXSmxiQ1V5T1M1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису . Ця рівність зазвичай записується скорочено:
. Тобто так само, як і для запису матриць.
Якщо та - деяке дійсне число, то
Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.
Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.
Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.
Вектори базису є лінійно незалежними.
Обертання
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlV5TDBOaGNuUmxjMmxoYmw5amIyOXlaR2x1WVhSbFgzTjVjM1JsYlY5b1lXNWtaV1J1WlhOekxuTjJaeTh6TkRod2VDMURZWEowWlhOcFlXNWZZMjl2Y21ScGJtRjBaVjl6ZVhOMFpXMWZhR0Z1WkdWa2JtVnpjeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору (правий базис), або до набору
(лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори
на кут
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN4TDBkM1oyVjNZMlZqTWpFdWRHbG1MMnh2YzNONUxYQmhaMlV4TFRVM01IQjRMVWQzWjJWM1kyVmpNakV1ZEdsbUxtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.
Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.
Приклад
Вектори ei = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в .
Нескінченовимірні простори
Цей розділ потребує доповнення. (грудень 2013) |
Див. також
Примітки
- А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
- Завало С. Т. (1974). Алгебра і теорія чисел. Київ: Вища школа. с. 399. (укр.)
- Moti Ben-Ari - A Tutorial on Euler Angles and Quaternions.
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ba zisom dav gr basis osnova vektornogo prostoru V displaystyle V nazivayetsya vporyadkovanij nabir vektoriv e 1 e n displaystyle e 1 e n yaksho kozhnij vektor iz V displaystyle V mozhna odnoznachno predstaviti u viglyadi linijnoyi kombinaciyi Ilyustraciya standartnogo bazisu v R2 Blakitnij i pomaranchevij vektori ye elementami bazisu zelenij vektor mozhe buti predstavlenij cherez bazisni vektori vin linijno zalezhit vid nih U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Bazis v i 1 n a i e i a i K displaystyle v sum i 1 n a i e i quad a i in mathbb K Koeficiyenti a i displaystyle a i kilcya K displaystyle mathbb K nazivayutsya koordinatami vektora v displaystyle v vidnosno bazisu e i displaystyle e i Cya rivnist zazvichaj zapisuyetsya skorocheno a a 1 a 2 a n displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha n Tobto tak samo yak i dlya zapisu matric Yaksho a a 1 a 2 a 3 displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha 3 b b 1 b 2 b 3 displaystyle b beta 1 beta 2 beta 3 ta l displaystyle lambda deyake dijsne chislo to a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 l a l a 1 l a 2 l a 3 a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 displaystyle a b Leftrightarrow alpha 1 beta 1 land alpha 2 beta 2 land alpha 3 beta 3 quad quad lambda a lambda alpha 1 lambda alpha 2 lambda alpha 3 quad quad a b alpha 1 beta 1 alpha 2 beta 2 alpha 3 beta 3 Takim chinom kozhnij vektor prostoru povnistyu viznachayetsya svoyimi koordinatami tobto vporyadkovanoyu trijkoyu dijsnih chisel a operaciyi nad vektorami prostoru zvodyatsya do operacij nad vporyadkovanimi trijkami dijsnih chisel Takim chinom z algebrichnoyi tochki zoru vektori prostoru mozhna vvazhati vporyadkovanimi trijkami chisel Predstavlennya vektora u viglyadi linijnoyi kombinaciyi bazisnih vektoriv nazivayetsya rozkladannyam vektora po danomu bazisu Kilkist vektoriv bazisu ne zalezhit vid viboru bazisnih vektoriv i dorivnyuye rozmirnosti prostoru i poznachayetsya dim V displaystyle dim V Isnuyut prostori yak iz skinchennim tak j neskinchennim bazisom Napriklad n vimirnij ekvlidovij prostir Vektori bazisu ye linijno nezalezhnimi ObertannyaLiva ta prava sistemi koordinat u trohvimirnomu prostori Bazisom ye trijka vektoriv e1 e2 e3 kozhnij z yakih spryamovanij uzdovzh yakoyis iz osej Nabir linijno nezalezhnih vektoriv mozhna neperervno peretvoryuvati tomu ni u yakij promizhnij konfiguraciyi ob yem ne peretvoritsya na nul abo do naboru e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n pravij bazis abo do naboru e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n livij bazis Zokrema peretvorennya zdijsnyuyetsya yak povorot u ploshini natyagnutij na vektori e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 na kut p 2 displaystyle frac pi 2 e 1 e 2 e n e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n rightarrow e 1 e 2 e n Znak u formuli navedenij pid malyunkom viznachayetsya parnistyu perestanovki Isnuye zasterezhennya shodo skladannya obertan trohvimirni obertannya ne komutuyut PrikladVektori ei 0 1 0 1 i n utvoryuyut bazis v K n displaystyle mathbb K n Neskinchenovimirni prostoriCej rozdil potrebuye dopovnennya gruden 2013 Div takozhPortal Matematika Lema Stejnica pro zaminu Ortonormovanij bazis Reper matematika Tenzor Bazis ciklivPrimitkiA I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya Zavalo S T 1974 Algebra i teoriya chisel Kiyiv Visha shkola s 399 ukr Moti Ben Ari A Tutorial on Euler Angles and Quaternions DzherelaGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi