У математиці структу́рний те́нзор (англ. structure tensor), відомий також як ма́триця дру́гого моме́нту (англ. second-moment matrix), — це матриця, яку виводять з градієнта функції. Він описує розподіл градієнта в заданому околі навколо точки, та робить цю інформацію інваріантною щодо координат спостереження. Структурний тензор часто використовують в обробці зображень та комп'ютерному баченні.
Двовимірний структурний тензор
Неперервний варіант
Для функції двох змінних p = (x, y) структурний тензор — це матриця 2×2
де та — частинні похідні відносно x та y; інтеграли пробігають площину ; а w — деяка фіксована «віконна функція» (така як гауссове розмиття), розподіл двох змінних. Зверніть увагу, що матриця сама є функцією p = (x, y).
Наведену вище формулу можливо також записати як , де — матрицезначна функція, визначена як
Якщо градієнт функції розглядати як матрицю 2×1 (одностовпчикову), де позначує операцію транспонування, яке перетворює рядковий вектор на стовпчиковий, то матрицю можливо записати як матричний добуток або тензорний чи зовнішній добуток . Проте зауважте, що структурний тензор неможливо розкладати таким чином у загальному випадку, за винятком, коли — дельта-функція Дірака.
Дискретний варіант
В обробці зображень та інших подібних застосуваннях функцію зазвичай задають дискретним масивом зразків , де p — пара цілих індексів. Двовимірний структурний тензор у заданому пікселі зазвичай вважають дискретною сумою
Тут індекс підсумовування r пробігає скінченний набір пар індексів («вікно», зазвичай для деякого m), а w[r] — фіксована «віконна вага», яка залежить від r, така, що сума всіх ваг становить 1. Значення — частинні похідні, взяті в пікселі p; які, наприклад, можна оцінювати з за формулами скінченних різниць.
Формулу структурного тензора можливо також записати як , де — матрицезначний масив, такий, що
Інтерпретація
Важливість двовимірного структурного тензора випливає з факту узагальнювання власними значеннями (які можливо впорядковувати так, що ) та відповідними власними векторами розподілу градієнта функції у вікні, визначеному з центром в .
А саме, якщо , то (або ) — це напрямок, максимально узгоджений із градієнтом у вікні.
Зокрема, якщо , то градієнт завжди кратний (додатний, від'ємний або нульовий); це справджується тоді й лише тоді, коли у вікні змінюється вздовж напрямку , але є сталою вздовж . Цю умову власних значень також називають умовою лінійної симетрії, оскільки тоді ізолінії складаються з паралельних прямих, тобто існує одновимірна функція , яка може породжувати двовимірну функцію як для деякого сталого вектора та координат .
З іншого боку, якщо , то градієнт у вікні не має переважного напрямку; це відбувається, наприклад, коли зображення в цьому вікні має обертову симетрію. Цю умову власних значень також називають збалансованим тілом (англ. balanced body), або умовою напрямкової рівноваги (англ. directional equilibrium), оскільки вона виконується тоді, коли всі напрямки градієнта у вікні однаково часті/імовірні.
Крім того, умова трапляється тоді й лише тоді, коли функція в межах стала ().
Загальніше, значення для k =1 чи k =2 — це -зважене усереднення в околі p квадрата похідної за напрямком . Відносна розбіжність між двома власними значеннями є покажчиком ступеню анізотропності градієнта у вікні, а саме того, наскільки сильно він схильний до певного напрямку (і його протилежності). Цей атрибут можливо кількісно виразити когере́нтністю (англ. coherence), визначеною як
якщо . Ця величина дорівнює 1, коли градієнт повністю вирівняний, і 0, якщо він не має переважного напрямку. Формула не визначена, навіть у границі, коли зображення у вікні стале (). Деякі автори визначають її в такому випадку як 0.
Зауважте, що усереднення градієнта всередині вікна не є добрим покажчиком анізотропії. Паралельні, але протилежно спрямовані градієнтні вектори в цьому усередненні нейтралізуються, тоді як у структурному тензорі вони належним чином додаються. Ось чому для оптимізації напрямку в усередненні структурного тензора використовують замість .
Розширюючи ефективний радіус віконної функції (тобто, збільшуючи її дисперсію), можливо робити структурний тензор стійкішим до шуму ціною зниження просторової роздільності. Формальну основу цієї властивості описано докладніше нижче, де показано, що багатомасштабне формулювання структурного тензора, яке називають багатомасштабним структурним тензором, становить істинне багатомасштабне подання напрямкових даних за варіацій просторового обширу віконної функції.
Комплексний варіант
Інтерпретація та втілення двовимірного структурного тензора стають особливо доступними за залучення комплексних чисел. Структурний тензор складається з трьох дійсних чисел
де , , а , де для дискретного подання інтеграли можливо замінити підсумовуваннями. З використанням тотожності Парсеваля стає ясно, що ці три дійсні числа є моментами другого порядку спектрального розподілу енергії . Тоді наступний комплексний момент другого порядку спектрального розподілу енергії можливо записати як
де , — напрямковий кут старшого власного вектора структурного тензора, , тоді як та — найбільш і найменш значущі власні значення. З цього випливає, що містить як певність (англ. certainty) , так і оптимальний напрямок у подвоєнокутовому поданні, оскільки це комплексне число, що складається з двох дійсних чисел. Звідси також випливає, що якщо градієнт подано комплексним числом, та перевідображено піднесенням до квадрату (тобто, кути аргументу комплексного градієнта подвоєно), то усереднення діє як оптимізатор у цій відображеній області, оскільки воно безпосередньо забезпечує як оптимальний напрямок (у подвоєнокутовому поданні), так і пов'язану з цим певність. Відтак, комплексне число показує, наскільки лінійна структура (лінійна симетрія) присутня в зображенні , а це комплексне число отримують безпосередньо усереднюванням градієнта в його (комплексному) повоєнокутовому поданні без явного обчислення власних значень і власних векторів.
Так само, можливо отримувати наступний комплексний момент другого порядку спектрального розподілу енергії , який завжди дійсний, бо дійсна,
де та , як і раніше, — власні значення. Зауважте, що цього разу величину комплексного градієнту піднесено до квадрату (що завжди дійсний).
Проте розкладання структурного тензора на його власні вектори дає його тензорні складові як
де — одинична матриця у двох вимірах, оскільки ці два власні вектори завжди перпендикулярні (й дають у сумі одиницю). Перший член у крайньому виразі цього розкладу, , подає складову лінійної симетрії структурного тензора, що містить всю напрямкову інформацію (як матриця рангу 1), тоді як другий член подає складову збалансованого тіла тензора, яка не містить жодної інформації про напрямок (містячи одиничну ). Тоді знати, скільки напрямкової інформації в , — те саме, що перевіряти, наскільки велика порівняно з .
Очевидно, що — комплексний еквівалент першого члена в тензорному розкладі, тоді якце еквівалент другого члена. Таким чином, ці два скаляри, що складаються з трьох дійсних чисел,
де — (комплексний) градієнтний фільтр, а — згортка, становлять комплексне подання двовимірного структурного тензора. Як обговорювалося тут і в інших місцях, визначає локальне зображення, що зазвичай є гауссіаном (з певною дисперсією, що визначає зовнішній масштаб), а — параметр (внутрішнього масштабу), що визначає ефективний діапазон частот, у якому оцінюють спрямування .
Елегантність комплексного подання випливає з того, що дві складові структурного тензора можливо отримувати як усереднення, і незалежно. Своєю чергою, це означає, що та можливо використовувати в масштабопросторовому поданні для опису свідчення наявності унікального спрямування та свідчення альтернативної гіпотези, наявності кількох збалансованих спрямувань, без обчислення власних векторів і власних значень. Існування такого функціоналу, як піднесення комплексних чисел у квадрат, для структурних тензорів розмірністю понад два досі показано не було. У Бігуна 91 було заявлено з належною аргументацією, що це через те, що комплексні числа є комутативними алгебрами, тоді як кватерніони, можливий кандидат для побудови такого функціоналу, становлять некомутативну алгебру.
Комплексне подання структурного тензора часто використовують в аналізі відбитків пальців, щоб отримувати карти напрямків, що містять певності, які, своєю чергою, використовують для їхнього покращення, щоби знаходити розташування глобальних (ядра та дельти) та локальних (мінуції) сингулярностей, а також для автоматичного оцінювання якості відбитків.
Тривимірний структурний тензор
Визначення
Структурний тензор можливо визначити також і для функції трьох змінних p =(x, y, z) абсолютно аналогічним чином. А саме, в безперервному варіанті маємо , де
де — три частинні похідні , а інтеграл пробігає .
У дискретному варіанті , де
а сума пробігає скінченну множину тривимірних індексів, зазвичай для деякого m.
Інтерпретація
Як і у двовимірному випадку, власні значення матриці та відповідні власні вектори узагальнюють розподіл напрямків градієнта в околі p, визначеному вікном . Цю інформацію можливо унаочнити як еліпсоїд, півосі якого дорівнюють власним значенням і спрямовані вздовж відповідних власних векторів.
Зокрема, якщо еліпсоїд розтягнуто вздовж лише однієї з осей, як сигару (тобто, якщо набагато більше як за , так і за ), це означає, що градієнт у вікні переважно узгоджується з напрямком , так, що ізоповерхні схильні бути пласкими та перпендикулярними до цього вектора. Така ситуація виникає, наприклад, коли p лежить на тонкій пластиноподібній ознаці або на гладкій межі між двома областями з контрастними значеннями.
Якщо еліпсоїд сплющено лише в одному напрямку, як млинець (тобто, якщо набагато менше як за , так і за ), це означає, що напрямки градієнта розсіяні, але перпендикулярні , так, що ізоповерхні схильні бути як труби, паралельні цьому вектору. Така ситуація виникає, наприклад, коли p лежить на тонкій лінієподібній ознаці, або на гострому куті межі між двома областями з контрастними значеннями.
Нарешті, якщо еліпсоїд приблизно сферичний (тобто, якщо ), це означає, що напрямки градієнта у вікні розподілено більш-менш рівномірно, без явної переваги; так, що функція в цьому околі переважно ізотропна. Це відбувається, наприклад, коли функція має [en] в околі p. Зокрема, якщо еліпсоїд вироджується в точку (тобто, якщо три власні значення дорівнюють нулю), це означає, що у вікні стала (має нульовий градієнт).
Багатомасштабний структурний тензор
Структурний тензор — важливий інструмент у масштабопросторовому аналізі. Багатомасшта́бний структу́рний те́нзор (або багатомасшта́бна ма́триця дру́гого моме́нту, англ. multi-scale structure tensor, multi-scale second moment matrix) функції , на відміну від інших однопараметрових масштабних просторів, демонструє описувач зображення, який визначають двома параметрами масштабу. Один параметр масштабу, який називають локальним масштабом (англ. local scale) , необхідний для визначання рівня попереднього згладжування при обчисленні градієнта зображення . Інший параметр масштабу, який називають масштабом інтегрування (англ. integration scale) , необхідний для визначання просторового обширу віконної функції , яка визначає ваги для області простору, над якою накопичують складові зовнішнього добутку градієнта на самого себе.
Точніше, припустімо, що — дійснозначний сигнал, визначений над . Нехай для будь-якого локального масштабу багатомасштабне подання цього сигналу задано через , де подає ядро попереднього згладжування. Крім того, нехай позначує градієнт цього масштабопросторового подання. Тоді багатомасштабний структурний тензор/матрицю другого моменту (англ. multi-scale structure tensor/second-moment matrix) визначають через
В принципі, можна спитати, чи буде достатньо використовувати будь-які самоподібні сімейства згладжувальних функцій та . Проте, якщо наївно застосувати, наприклад, коробковий фільтр, то можуть легко виникнути небажані артефакти. Якщо хотіти, щоби багатомасштабний структурний тензор поводився добре як за зростання локальних масштабів , так і за зростання масштабів інтегрування , то можливо показати, що і функція згладжування, і віконна функція мають бути гауссіанами. Умови, які визначають цю унікальність, подібні до масштабопросторових аксіом, які використовують для виведення унікальності гауссового ядра для звичайного гауссового простору масштабів яскравостей зображення.
У цьому сімействі описувачів зображень існують різні способи оперування двопараметровою мінливістю масштабів. Якщо ми зберігаємо параметр локального масштабу незмінним, і застосовуємо щодалі розширеніші версії віконної функції, збільшуючи лише параметр масштабу інтегрування , то ми отримуємо істинне формальне масштабопросторове подання напрямкових даних, обчислене у заданому локальному масштабі . Якщо ми пов'яжемо локальний масштаб і масштаб інтегрування відносним масштабом інтегрування (англ. relative integration scale) , так, що , то для будь-якого незмінного значення ми отримуємо зведену самоподібну однопараметрову мінливість, яку часто використовують для спрощення обчислювальних алгоритмів, наприклад, у виявлянні кутів, особливих точок, , та зіставлянні зображень. Змінюючи відносний масштаб інтегрування у такій самоподібній мінливості масштабу, ми отримуємо інший альтернативний спосіб параметрування багатомасштабної природи напрямкових даних, отримуваних шляхом збільшення масштабу інтегрування.
Концептуально подібну побудову можливо виконати й для дискретних сигналів, замінивши згортковий інтеграл згортковою сумою, а неперервне гауссове ядро — дискретним гауссовим ядром :
При квантуванні параметрів масштабу та у фактичному втіленні зазвичай використовують скінченну геометричну прогресію , де i пробігає від 0 до деякого максимального індексу масштабу m. Таким чином, дискретні рівні масштабу матимуть певну подібність до піраміди зображення, хоча просторову підвибірку для збереження точніших даних для наступних етапів обробки можуть використовувати не обов'язково.
Застосування
Власні значення структурного тензора відіграють важливу роль у багатьох алгоритмах обробки зображень, для таких задач як виявляння кутів, особливих точок, та відстежування ознак. Структурний тензор також відіграє центральну роль в алгоритмі оптичного потоку Лукаса — Канаде та в його розширеннях для оцінювання афінного пристосовування форми; де величина є показником надійності обчисленого результату. Цей тензор використовували для масштабопросторового аналізу, оцінювання локального спрямування поверхні за монокулярними та бінокулярними сигналами, нелінійного ,дифузної обробки зображень, та кількох інших задач обробки зображень. Структурний тензор також можливо застосовувати в геології для фільтрування сейсмічних даних.
Обробка просторово-часових відеоданих за допомогою структурного тензора
Тривимірний структурний тензор використовували для аналізу тривимірних відеоданих (які розглядали як функцію x, y та часу t). Якщо в цьому контексті націлюватися на описувачі зображення, інваріантні щодо галілеєвих перетворень, щоб уможливити порівняння вимірювань зображення, отримуваних за варіацій апріорно невідомих швидкостей зображення
- ,
проте з обчислювальної точки зору краще параметрувати складові в структурному тензорі/матриці другого моменту , використовуючи поняття галілеєвої діагоналізації (англ. Galilean diagonalization)
де позначує галілеєве перетворення простору-часу, а — двовимірне обертання в просторовій області, порівняно з вищезазначеним використанням власних значень тривимірного структурного тензора, що відповідає розкладу на власні значення та (нефізичному) тривимірному обертанню простору-часу
- .
Проте для отримання істинної галілеєвої інваріантності необхідно також пристосовувати форму просторово-часової віконної функції, відповідно до перенесення афінного пристосовування форми з просторових до просторово-часових даних зображення. У поєднанні з локальними просторово-часовими гістограмними описувачами ці концепції разом уможливлюють галілейноінваріантне розпізнавання просторово-часових подій.
Див. також
Примітки
- J. Bigun and G. Granlund (1986), Optimal Orientation Detection of Linear Symmetry. Tech. Report LiTH-ISY-I-0828, Computer Vision Laboratory, Linkoping University, Sweden 1986; Thesis Report, Linkoping studies in science and technology No. 85, 1986. (англ.)
- J. Bigun & G. Granlund (1987). Optimal Orientation Detection of Linear Symmetry. First int. Conf. on Computer Vision, ICCV, (London). Piscataway: IEEE Computer Society Press, Piscataway. с. 433—438. (англ.)
- H. Knutsson (1989). Representing local structure using tensors. Proceedings 6th Scandinavian Conf. on Image Analysis. Oulu: Oulu University. с. 244—251. (англ.)
- B. Jahne (1993). Spatio-Temporal Image Processing: Theory and Scientific Applications. Т. 751. Berlin: Springer-Verlag. (англ.)
- G. Medioni, M. Lee & C. Tang (March 2000). A Computational Framework for Feature Extraction and Segmentation. Elsevier Science. (англ.)
- T. Brox; J. Weickert; B. Burgeth & P. Mrazek (2004). Nonlinear Structure Tensors (Технічний звіт). № 113. Universität des Saarlandes. (англ.)
- T. Lindeberg (1993), Scale-Space Theory in Computer Vision. Kluwer Academic Publishers, (докладні формулювання того, як багатомасштабна матриця другого моменту/структурний тензор визначає істинне та однозначно визначене багатомасштабне подання напрямкових даних, див. у розділах 14.4.1 та 14.2.3 на сторінках 359—360 та 355—356). (англ.)
- J. Bigun; G. Granlund & J. Wiklund (1991). Multidimensional Orientation Estimation with Applications to Texture Analysis and Optical Flow. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 13 (8): 775—790. doi:10.1109/34.85668. (англ.)
- M. Nicolescu & G. Medioni (2003). Motion Segmentation with Accurate Boundaries – A Tensor Voting Approach. Proc. IEEE Computer Vision and Pattern Recognition. Т. 1. с. 382—389. (англ.)
- Westin, C.-F.; Maier, S.E.; Mamata, H.; Nabavi, A.; Jolesz, F.A.; Kikinis, R. (June 2002). Processing and visualization for diffusion tensor MRI. Medical Image Analysis (англ.). 6 (2): 93—108. doi:10.1016/S1361-8415(02)00053-1. PMID 12044998. (англ.)
- T. Lindeberg & J. Garding (1997). Shape-adapted smoothing in estimation of 3-D depth cues from affine distortions of local 2-D structure. Image and Vision Computing. 15 (6): 415—434. doi:10.1016/S0262-8856(97)01144-X. (англ.)
- J. Garding and T. Lindeberg (1996). "Direct computation of shape cues using scale-adapted spatial derivative operators, International Journal of Computer Vision, volume 17, issue 2, pages 163–191. (англ.)
- W. Förstner (1986). A Feature Based Correspondence Algorithm for Image Processing. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing. 26: 150—166. (англ.)
- C. Harris & M. Stephens (1988). A Combined Corner and Edge Detector. Proc. of the 4th ALVEY Vision Conference. с. 147—151. (англ.)
- K. Rohr (1997). On 3D Differential Operators for Detecting Point Landmarks. Image and Vision Computing. 15 (3): 219—233. doi:10.1016/S0262-8856(96)01127-4. (англ.)
- I. Laptev & T. Lindeberg (2003). Space–time interest points. International Conference on Computer Vision ICCV'03. Т. I. с. 432—439. doi:10.1109/ICCV.2003.1238378. (англ.)
- B. Triggs (2004). Detecting Keypoints with Stable Position, Orientation, and Scale under Illumination Changes. Proc. European Conference on Computer Vision. Т. 4. с. 100—113. (англ.)
- C. Kenney, M. Zuliani & B. Manjunath (2005). An Axiomatic Approach to Corner Detection. Proc. IEEE Computer Vision and Pattern Recognition. с. 191—197. (англ.)
- A. Almansa and T. Lindeberg (2000), Enhancement of fingerprint images using shape-adaptated scale-space operators. IEEE Transactions on Image Processing, volume 9, number 12, pages 2027–2042. (англ.)
- J. Weickert (1998), Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart. (англ.)
- D. Tschumperle & R. Deriche (September 2002). Diffusion PDEs on Vector-Valued Images. IEEE Signal Processing Magazine. 19 (5): 16—25. doi:10.1109/MSP.2002.1028349. (англ.)
- S. Arseneau & J. Cooperstock (September 2006). An Asymmetrical Diffusion Framework for Junction Analysis. British Machine Vision Conference. Т. 2. с. 689—698. (англ.)
- S. Arseneau & J. Cooperstock (November 2006). An Improved Representation of Junctions through Asymmetric Tensor Diffusion. International Symposium on Visual Computing. (англ.)
- Yang, Shuai; Chen, Anqing; Chen, Hongde (25 травня 2017). Seismic data filtering using non-local means algorithm based on structure tensor. Open Geosciences. 9 (1): 151—160. Bibcode:2017OGeo....9...13Y. doi:10.1515/geo-2017-0013. ISSN 2391-5447. S2CID 134392619. (англ.)
- T. Lindeberg; A. Akbarzadeh & I. Laptev (August 2004). Galilean-corrected spatio-temporal interest operators. International Conference on Pattern Recognition ICPR'04. Т. I. с. 57—62. doi:10.1109/ICPR.2004.1334004. (англ.)
- I. Laptev & T. Lindeberg (August 2004). Velocity adaptation of space–time interest points. International Conference on Pattern Recognition ICPR'04. Т. I. с. 52—56. doi:10.1109/ICPR.2004.971. (англ.)
- I. Laptev & T. Lindeberg (May 2004). Local descriptors for spatio-temporal recognition. ECCV'04 Workshop on Spatial Coherence for Visual Motion Analysis (Prague, Czech Republic) Springer Lecture Notes in Computer Science. Т. 3667. с. 91—103. doi:10.1007/11676959. (англ.)
- I. Laptev; B. Caputo; C. Schuldt & T. Lindeberg (2007). Local velocity-adapted motion events for spatio-temporal recognition. Computer Vision and Image Understanding. Т. 108. с. 207—229. doi:10.1016/j.cviu.2006.11.023. (англ.)
Ресурси
- Завантажити первинний код MATLAB
- Посібник зі структурних тензорів (оригінал) (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici struktu rnij te nzor angl structure tensor vidomij takozh yak ma tricya dru gogo mome ntu angl second moment matrix ce matricya yaku vivodyat z gradiyenta funkciyi Vin opisuye rozpodil gradiyenta v zadanomu okoli navkolo tochki ta robit cyu informaciyu invariantnoyu shodo koordinat sposterezhennya Strukturnij tenzor chasto vikoristovuyut v obrobci zobrazhen ta komp yuternomu bachenni Dvovimirnij strukturnij tenzorNeperervnij variant Dlya funkciyi I displaystyle I dvoh zminnih p x y strukturnij tenzor ce matricya 2 2 Sw p w r Ix p r 2dr w r Ix p r Iy p r dr w r Ix p r Iy p r dr w r Iy p r 2dr displaystyle S w p begin bmatrix int w r I x p r 2 dr amp int w r I x p r I y p r dr 10pt int w r I x p r I y p r dr amp int w r I y p r 2 dr end bmatrix de Ix displaystyle I x ta Iy displaystyle I y chastinni pohidni I displaystyle I vidnosno x ta y integrali probigayut ploshinu R2 displaystyle mathbb R 2 a w deyaka fiksovana vikonna funkciya taka yak gaussove rozmittya rozpodil dvoh zminnih Zvernit uvagu sho matricya Sw displaystyle S w sama ye funkciyeyu p x y Navedenu vishe formulu mozhlivo takozh zapisati yak Sw p w r S0 p r dr displaystyle S w p int w r S 0 p r dr de S0 displaystyle S 0 matriceznachna funkciya viznachena yak S0 p Ix p 2Ix p Iy p Ix p Iy p Iy p 2 displaystyle S 0 p begin bmatrix I x p 2 amp I x p I y p 10pt I x p I y p amp I y p 2 end bmatrix Yaksho gradiyent I Ix Iy T displaystyle nabla I I x I y text T funkciyi I displaystyle I rozglyadati yak matricyu 2 1 odnostovpchikovu de T displaystyle text T poznachuye operaciyu transponuvannya yake peretvoryuye ryadkovij vektor na stovpchikovij to matricyu S0 displaystyle S 0 mozhlivo zapisati yak matrichnij dobutok I I T displaystyle nabla I nabla I text T abo tenzornij chi zovnishnij dobutok I I displaystyle nabla I otimes nabla I Prote zauvazhte sho strukturnij tenzor Sw p displaystyle S w p nemozhlivo rozkladati takim chinom u zagalnomu vipadku za vinyatkom koli w displaystyle w delta funkciya Diraka Diskretnij variant V obrobci zobrazhen ta inshih podibnih zastosuvannyah funkciyu I displaystyle I zazvichaj zadayut diskretnim masivom zrazkiv I p displaystyle I p de p para cilih indeksiv Dvovimirnij strukturnij tenzor u zadanomu pikseli zazvichaj vvazhayut diskretnoyu sumoyu Sw p rw r Ix p r 2 rw r Ix p r Iy p r rw r Ix p r Iy p r rw r Iy p r 2 displaystyle S w p begin bmatrix sum r w r I x p r 2 amp sum r w r I x p r I y p r 10pt sum r w r I x p r I y p r amp sum r w r I y p r 2 end bmatrix Tut indeks pidsumovuvannya r probigaye skinchennij nabir par indeksiv vikno zazvichaj m m m m displaystyle m m times m m dlya deyakogo m a w r fiksovana vikonna vaga yaka zalezhit vid r taka sho suma vsih vag stanovit 1 Znachennya Ix p Iy p displaystyle I x p I y p chastinni pohidni vzyati v pikseli p yaki napriklad mozhna ocinyuvati z I displaystyle I za formulami skinchennih riznic Formulu strukturnogo tenzora mozhlivo takozh zapisati yak Sw p rw r S0 p r displaystyle S w p sum r w r S 0 p r de S0 displaystyle S 0 matriceznachnij masiv takij sho S0 p Ix p 2Ix p Iy p Ix p Iy p Iy p 2 displaystyle S 0 p begin bmatrix I x p 2 amp I x p I y p 10pt I x p I y p amp I y p 2 end bmatrix Interpretaciya Vazhlivist dvovimirnogo strukturnogo tenzora Sw displaystyle S w viplivaye z faktu uzagalnyuvannya vlasnimi znachennyami l1 l2 displaystyle lambda 1 lambda 2 yaki mozhlivo vporyadkovuvati tak sho l1 l2 0 displaystyle lambda 1 geq lambda 2 geq 0 ta vidpovidnimi vlasnimi vektorami e1 e2 displaystyle e 1 e 2 rozpodilu gradiyenta I Ix Iy displaystyle nabla I I x I y funkciyi I displaystyle I u vikni viznachenomu w displaystyle w z centrom v p displaystyle p A same yaksho l1 gt l2 displaystyle lambda 1 gt lambda 2 to e1 displaystyle e 1 abo e1 displaystyle e 1 ce napryamok maksimalno uzgodzhenij iz gradiyentom u vikni Zokrema yaksho l1 gt 0 l2 0 displaystyle lambda 1 gt 0 lambda 2 0 to gradiyent zavzhdi kratnij e1 displaystyle e 1 dodatnij vid yemnij abo nulovij ce spravdzhuyetsya todi j lishe todi koli I displaystyle I u vikni zminyuyetsya vzdovzh napryamku e1 displaystyle e 1 ale ye staloyu vzdovzh e2 displaystyle e 2 Cyu umovu vlasnih znachen takozh nazivayut umovoyu linijnoyi simetriyi oskilki todi izoliniyi I displaystyle I skladayutsya z paralelnih pryamih tobto isnuye odnovimirna funkciya g displaystyle g yaka mozhe porodzhuvati dvovimirnu funkciyu I displaystyle I yak I x y g dTp displaystyle I x y g d text T p dlya deyakogo stalogo vektora d dx dy T displaystyle d d x d y T ta koordinat p x y T displaystyle p x y T Z inshogo boku yaksho l1 l2 displaystyle lambda 1 lambda 2 to gradiyent u vikni ne maye perevazhnogo napryamku ce vidbuvayetsya napriklad koli zobrazhennya v comu vikni maye obertovu simetriyu Cyu umovu vlasnih znachen takozh nazivayut zbalansovanim tilom angl balanced body abo umovoyu napryamkovoyi rivnovagi angl directional equilibrium oskilki vona vikonuyetsya todi koli vsi napryamki gradiyenta u vikni odnakovo chasti imovirni Krim togo umova l1 l2 0 displaystyle lambda 1 lambda 2 0 traplyayetsya todi j lishe todi koli funkciya I displaystyle I v mezhah W displaystyle W stala I 0 0 displaystyle nabla I 0 0 Zagalnishe znachennya lk displaystyle lambda k dlya k 1 chi k 2 ce w displaystyle w zvazhene userednennya v okoli p kvadrata pohidnoyi I displaystyle I za napryamkom ek displaystyle e k Vidnosna rozbizhnist mizh dvoma vlasnimi znachennyami Sw displaystyle S w ye pokazhchikom stupenyu anizotropnosti gradiyenta u vikni a same togo naskilki silno vin shilnij do pevnogo napryamku i jogo protilezhnosti Cej atribut mozhlivo kilkisno viraziti kogere ntnistyu angl coherence viznachenoyu yakcw l1 l2l1 l2 2 displaystyle c w left frac lambda 1 lambda 2 lambda 1 lambda 2 right 2 yaksho l2 gt 0 displaystyle lambda 2 gt 0 Cya velichina dorivnyuye 1 koli gradiyent povnistyu virivnyanij i 0 yaksho vin ne maye perevazhnogo napryamku Formula ne viznachena navit u granici koli zobrazhennya u vikni stale l1 l2 0 displaystyle lambda 1 lambda 2 0 Deyaki avtori viznachayut yiyi v takomu vipadku yak 0 Zauvazhte sho userednennya gradiyenta I displaystyle nabla I vseredini vikna ne ye dobrim pokazhchikom anizotropiyi Paralelni ale protilezhno spryamovani gradiyentni vektori v comu userednenni nejtralizuyutsya todi yak u strukturnomu tenzori voni nalezhnim chinom dodayutsya Os chomu dlya optimizaciyi napryamku v userednenni strukturnogo tenzora vikoristovuyut I I T displaystyle nabla I nabla I text T zamist I displaystyle nabla I Rozshiryuyuchi efektivnij radius vikonnoyi funkciyi w displaystyle w tobto zbilshuyuchi yiyi dispersiyu mozhlivo robiti strukturnij tenzor stijkishim do shumu cinoyu znizhennya prostorovoyi rozdilnosti Formalnu osnovu ciyeyi vlastivosti opisano dokladnishe nizhche de pokazano sho bagatomasshtabne formulyuvannya strukturnogo tenzora yake nazivayut bagatomasshtabnim strukturnim tenzorom stanovit istinne bagatomasshtabne podannya napryamkovih danih za variacij prostorovogo obshiru vikonnoyi funkciyi Kompleksnij variant Interpretaciya ta vtilennya dvovimirnogo strukturnogo tenzora stayut osoblivo dostupnimi za zaluchennya kompleksnih chisel Strukturnij tenzor skladayetsya z troh dijsnih chisel Sw p m20m11m11m02 displaystyle S w p begin bmatrix mu 20 amp mu 11 10pt mu 11 amp mu 02 end bmatrix de m20 w r Ix p r 2dr textstyle mu 20 int w r I x p r 2 dr m02 w r Iy p r 2dr textstyle mu 02 int w r I y p r 2 dr a m11 w r Ix p r Iy p r dr textstyle mu 11 int w r I x p r I y p r dr de dlya diskretnogo podannya integrali mozhlivo zaminiti pidsumovuvannyami Z vikoristannyam totozhnosti Parsevalya staye yasno sho ci tri dijsni chisla ye momentami drugogo poryadku spektralnogo rozpodilu energiyi I displaystyle I Todi nastupnij kompleksnij moment drugogo poryadku spektralnogo rozpodilu energiyi I displaystyle I mozhlivo zapisati yak k20 m20 m02 i2m11 w r Ix p r iIy p r 2dr l1 l2 exp i2ϕ textstyle kappa 20 mu 20 mu 02 i2 mu 11 int w r I x p r iI y p r 2 dr lambda 1 lambda 2 exp i2 phi de i 1 displaystyle i sqrt 1 ϕ displaystyle phi napryamkovij kut starshogo vlasnogo vektora strukturnogo tenzora ϕ e1 displaystyle phi angle e 1 todi yak l1 displaystyle lambda 1 ta l2 displaystyle lambda 2 najbilsh i najmensh znachushi vlasni znachennya Z cogo viplivaye sho k20 displaystyle kappa 20 mistit yak pevnist angl certainty k20 l1 l2 displaystyle kappa 20 lambda 1 lambda 2 tak i optimalnij napryamok u podvoyenokutovomu podanni oskilki ce kompleksne chislo sho skladayetsya z dvoh dijsnih chisel Zvidsi takozh viplivaye sho yaksho gradiyent podano kompleksnim chislom ta perevidobrazheno pidnesennyam do kvadratu tobto kuti argumentu kompleksnogo gradiyenta podvoyeno to userednennya diye yak optimizator u cij vidobrazhenij oblasti oskilki vono bezposeredno zabezpechuye yak optimalnij napryamok u podvoyenokutovomu podanni tak i pov yazanu z cim pevnist Vidtak kompleksne chislo pokazuye naskilki linijna struktura linijna simetriya prisutnya v zobrazhenni I displaystyle I a ce kompleksne chislo otrimuyut bezposeredno userednyuvannyam gradiyenta v jogo kompleksnomu povoyenokutovomu podanni bez yavnogo obchislennya vlasnih znachen i vlasnih vektoriv Tak samo mozhlivo otrimuvati nastupnij kompleksnij moment drugogo poryadku spektralnogo rozpodilu energiyi I displaystyle I yakij zavzhdi dijsnij bo I displaystyle I dijsna k11 m20 m02 w r Ix p r iIy p r 2dr l1 l2 textstyle kappa 11 mu 20 mu 02 int w r I x p r iI y p r 2 dr lambda 1 lambda 2 de l1 displaystyle lambda 1 ta l2 displaystyle lambda 2 yak i ranishe vlasni znachennya Zauvazhte sho cogo razu velichinu kompleksnogo gradiyentu pidneseno do kvadratu sho zavzhdi dijsnij Prote rozkladannya strukturnogo tenzora na jogo vlasni vektori daye jogo tenzorni skladovi yak Sw p l1e1e1T l2e2e2T l1 l2 e1e1T l2 e1e1T e2e2T l1 l2 e1e1T l2E displaystyle S w p lambda 1 e 1 e 1 text T lambda 2 e 2 e 2 text T lambda 1 lambda 2 e 1 e 1 text T lambda 2 e 1 e 1 text T e 2 e 2 text T lambda 1 lambda 2 e 1 e 1 text T lambda 2 E de E displaystyle E odinichna matricya u dvoh vimirah oskilki ci dva vlasni vektori zavzhdi perpendikulyarni j dayut u sumi odinicyu Pershij chlen u krajnomu virazi cogo rozkladu l1 l2 e1e1T displaystyle lambda 1 lambda 2 e 1 e 1 text T podaye skladovu linijnoyi simetriyi strukturnogo tenzora sho mistit vsyu napryamkovu informaciyu yak matricya rangu 1 todi yak drugij chlen podaye skladovu zbalansovanogo tila tenzora yaka ne mistit zhodnoyi informaciyi pro napryamok mistyachi odinichnu E displaystyle E Todi znati skilki napryamkovoyi informaciyi v I displaystyle I te same sho pereviryati naskilki velika l1 l2 displaystyle lambda 1 lambda 2 porivnyano z l2 displaystyle lambda 2 Ochevidno sho k20 displaystyle kappa 20 kompleksnij ekvivalent pershogo chlena v tenzornomu rozkladi todi yak k20 k11 2 l2 displaystyle kappa 20 kappa 11 2 lambda 2 ce ekvivalent drugogo chlena Takim chinom ci dva skalyari sho skladayutsya z troh dijsnih chisel k20 l1 l2 exp i2ϕ w h I 2k11 l1 l2 w h I 2 displaystyle begin array c kappa 20 lambda 1 lambda 2 exp i2 phi amp amp w h I 2 kappa 11 lambda 1 lambda 2 amp amp w h I 2 end array de h x y x iy exp x2 y2 2s2 displaystyle h x y x iy exp x 2 y 2 2 sigma 2 kompleksnij gradiyentnij filtr a displaystyle zgortka stanovlyat kompleksne podannya dvovimirnogo strukturnogo tenzora Yak obgovoryuvalosya tut i v inshih miscyah w displaystyle w viznachaye lokalne zobrazhennya sho zazvichaj ye gaussianom z pevnoyu dispersiyeyu sho viznachaye zovnishnij masshtab a s displaystyle sigma parametr vnutrishnogo masshtabu sho viznachaye efektivnij diapazon chastot u yakomu ocinyuyut spryamuvannya 2ϕ displaystyle 2 phi Elegantnist kompleksnogo podannya viplivaye z togo sho dvi skladovi strukturnogo tenzora mozhlivo otrimuvati yak userednennya i nezalezhno Svoyeyu chergoyu ce oznachaye sho k20 displaystyle kappa 20 ta k11 displaystyle kappa 11 mozhlivo vikoristovuvati v masshtaboprostorovomu podanni dlya opisu svidchennya nayavnosti unikalnogo spryamuvannya ta svidchennya alternativnoyi gipotezi nayavnosti kilkoh zbalansovanih spryamuvan bez obchislennya vlasnih vektoriv i vlasnih znachen Isnuvannya takogo funkcionalu yak pidnesennya kompleksnih chisel u kvadrat dlya strukturnih tenzoriv rozmirnistyu ponad dva dosi pokazano ne bulo U Biguna 91 bulo zayavleno z nalezhnoyu argumentaciyeyu sho ce cherez te sho kompleksni chisla ye komutativnimi algebrami todi yak kvaternioni mozhlivij kandidat dlya pobudovi takogo funkcionalu stanovlyat nekomutativnu algebru Kompleksne podannya strukturnogo tenzora chasto vikoristovuyut v analizi vidbitkiv palciv shob otrimuvati karti napryamkiv sho mistyat pevnosti yaki svoyeyu chergoyu vikoristovuyut dlya yihnogo pokrashennya shobi znahoditi roztashuvannya globalnih yadra ta delti ta lokalnih minuciyi singulyarnostej a takozh dlya avtomatichnogo ocinyuvannya yakosti vidbitkiv Trivimirnij strukturnij tenzorViznachennya Strukturnij tenzor mozhlivo viznachiti takozh i dlya funkciyi I displaystyle I troh zminnih p x y z absolyutno analogichnim chinom A same v bezperervnomu varianti mayemo Sw p w r S0 p r dr displaystyle S w p int w r S 0 p r dr de S0 p Ix p 2Ix p Iy p Ix p Iz p Ix p Iy p Iy p 2Iy p Iz p Ix p Iz p Iy p Iz p Iz p 2 displaystyle S 0 p begin bmatrix I x p 2 amp I x p I y p amp I x p I z p 10pt I x p I y p amp I y p 2 amp I y p I z p 10pt I x p I z p amp I y p I z p amp I z p 2 end bmatrix de Ix Iy Iz displaystyle I x I y I z tri chastinni pohidni I displaystyle I a integral probigaye R3 displaystyle mathbb R 3 U diskretnomu varianti Sw p rw r S0 p r displaystyle S w p sum r w r S 0 p r de S0 p Ix p 2Ix p Iy p Ix p Iz p Ix p Iy p Iy p 2Iy p Iz p Ix p Iz p Iy p Iz p Iz p 2 displaystyle S 0 p begin bmatrix I x p 2 amp I x p I y p amp I x p I z p 10pt I x p I y p amp I y p 2 amp I y p I z p 10pt I x p I z p amp I y p I z p amp I z p 2 end bmatrix a suma probigaye skinchennu mnozhinu trivimirnih indeksiv zazvichaj m m m m m m displaystyle m m times m m times m m dlya deyakogo m Interpretaciya Yak i u dvovimirnomu vipadku vlasni znachennya l1 l2 l3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 matrici Sw p displaystyle S w p ta vidpovidni vlasni vektori e 1 e 2 e 3 displaystyle hat e 1 hat e 2 hat e 3 uzagalnyuyut rozpodil napryamkiv gradiyenta v okoli p viznachenomu viknom w displaystyle w Cyu informaciyu mozhlivo unaochniti yak elipsoyid pivosi yakogo dorivnyuyut vlasnim znachennyam i spryamovani vzdovzh vidpovidnih vlasnih vektoriv Elipsoyidne podannya trivimirnogo strukturnogo tenzora Zokrema yaksho elipsoyid roztyagnuto vzdovzh lishe odniyeyi z osej yak sigaru tobto yaksho l1 displaystyle lambda 1 nabagato bilshe yak za l2 displaystyle lambda 2 tak i za l3 displaystyle lambda 3 ce oznachaye sho gradiyent u vikni perevazhno uzgodzhuyetsya z napryamkom e1 displaystyle e 1 tak sho izopoverhni I displaystyle I shilni buti plaskimi ta perpendikulyarnimi do cogo vektora Taka situaciya vinikaye napriklad koli p lezhit na tonkij plastinopodibnij oznaci abo na gladkij mezhi mizh dvoma oblastyami z kontrastnimi znachennyami Elipsoyid strukturnogo tenzora poverhnepodibnogo okolu en de l1 gt gt l2 l3 displaystyle lambda 1 gt gt lambda 2 approx lambda 3 Trivimirne vikno roztashovane na gladkij mezhi mizh dvoma rivnomirnimi oblastyami trivimirnogo zobrazhennya Vidpovidnij elipsoyid strukturnogo tenzora Yaksho elipsoyid splyusheno lishe v odnomu napryamku yak mlinec tobto yaksho l3 displaystyle lambda 3 nabagato menshe yak za l1 displaystyle lambda 1 tak i za l2 displaystyle lambda 2 ce oznachaye sho napryamki gradiyenta rozsiyani ale perpendikulyarni e3 displaystyle e 3 tak sho izopoverhni shilni buti yak trubi paralelni comu vektoru Taka situaciya vinikaye napriklad koli p lezhit na tonkij liniyepodibnij oznaci abo na gostromu kuti mezhi mizh dvoma oblastyami z kontrastnimi znachennyami Strukturnij tenzor liniyepodibnogo okolu kurvelya angl curvel de l1 l2 gt gt l3 displaystyle lambda 1 approx lambda 2 gt gt lambda 3 Trivimirne vikno roztashovane na liniyepodibnij oznaci trivimirnogo zobrazhennya Vidpovidnij elipsoyid strukturnogo tenzora Nareshti yaksho elipsoyid priblizno sferichnij tobto yaksho l1 l2 l3 displaystyle lambda 1 approx lambda 2 approx lambda 3 ce oznachaye sho napryamki gradiyenta u vikni rozpodileno bilsh mensh rivnomirno bez yavnoyi perevagi tak sho funkciya I displaystyle I v comu okoli perevazhno izotropna Ce vidbuvayetsya napriklad koli funkciya maye en v okoli p Zokrema yaksho elipsoyid virodzhuyetsya v tochku tobto yaksho tri vlasni znachennya dorivnyuyut nulyu ce oznachaye sho I displaystyle I u vikni stala maye nulovij gradiyent Strukturnij tenzor izotropnogo okolu de l1 l2 l3 displaystyle lambda 1 approx lambda 2 approx lambda 3 Trivimirne vikno sho mistit sferichnu oznaku trivimirnogo zobrazhennya Vidpovidnij elipsoyid strukturnogo tenzora Bagatomasshtabnij strukturnij tenzorStrukturnij tenzor vazhlivij instrument u masshtaboprostorovomu analizi Bagatomasshta bnij struktu rnij te nzor abo bagatomasshta bna ma tricya dru gogo mome ntu angl multi scale structure tensor multi scale second moment matrix funkciyi I displaystyle I na vidminu vid inshih odnoparametrovih masshtabnih prostoriv demonstruye opisuvach zobrazhennya yakij viznachayut dvoma parametrami masshtabu Odin parametr masshtabu yakij nazivayut lokalnim masshtabom angl local scale t displaystyle t neobhidnij dlya viznachannya rivnya poperednogo zgladzhuvannya pri obchislenni gradiyenta zobrazhennya I x t displaystyle nabla I x t Inshij parametr masshtabu yakij nazivayut masshtabom integruvannya angl integration scale s displaystyle s neobhidnij dlya viznachannya prostorovogo obshiru vikonnoyi funkciyi w 3 s displaystyle w xi s yaka viznachaye vagi dlya oblasti prostoru nad yakoyu nakopichuyut skladovi zovnishnogo dobutku gradiyenta na samogo sebe I I T displaystyle nabla I nabla I text T Tochnishe pripustimo sho I displaystyle I dijsnoznachnij signal viznachenij nad Rk displaystyle mathbb R k Nehaj dlya bud yakogo lokalnogo masshtabu t gt 0 displaystyle t gt 0 bagatomasshtabne podannya I x t displaystyle I x t cogo signalu zadano cherez I x t h x t I x displaystyle I x t h x t I x de h x t displaystyle h x t podaye yadro poperednogo zgladzhuvannya Krim togo nehaj I x t displaystyle nabla I x t poznachuye gradiyent cogo masshtaboprostorovogo podannya Todi bagatomasshtabnij strukturnij tenzor matricyu drugogo momentu angl multi scale structure tensor second moment matrix viznachayut cherez m x t s 3 Rk I x 3 t I T x 3 t w 3 s d3 displaystyle mu x t s int xi in mathbb R k nabla I x xi t nabla I text T x xi t w xi s d xi V principi mozhna spitati chi bude dostatno vikoristovuvati bud yaki samopodibni simejstva zgladzhuvalnih funkcij h x t displaystyle h x t ta w 3 s displaystyle w xi s Prote yaksho nayivno zastosuvati napriklad korobkovij filtr to mozhut legko viniknuti nebazhani artefakti Yaksho hotiti shobi bagatomasshtabnij strukturnij tenzor povodivsya dobre yak za zrostannya lokalnih masshtabiv t displaystyle t tak i za zrostannya masshtabiv integruvannya s displaystyle s to mozhlivo pokazati sho i funkciya zgladzhuvannya i vikonna funkciya mayut buti gaussianami Umovi yaki viznachayut cyu unikalnist podibni do masshtaboprostorovih aksiom yaki vikoristovuyut dlya vivedennya unikalnosti gaussovogo yadra dlya zvichajnogo gaussovogo prostoru masshtabiv yaskravostej zobrazhennya U comu simejstvi opisuvachiv zobrazhen isnuyut rizni sposobi operuvannya dvoparametrovoyu minlivistyu masshtabiv Yaksho mi zberigayemo parametr lokalnogo masshtabu t displaystyle t nezminnim i zastosovuyemo shodali rozshirenishi versiyi vikonnoyi funkciyi zbilshuyuchi lishe parametr masshtabu integruvannya s displaystyle s to mi otrimuyemo istinne formalne masshtaboprostorove podannya napryamkovih danih obchislene u zadanomu lokalnomu masshtabi t displaystyle t Yaksho mi pov yazhemo lokalnij masshtab i masshtab integruvannya vidnosnim masshtabom integruvannya angl relative integration scale r 1 displaystyle r geq 1 tak sho s rt displaystyle s rt to dlya bud yakogo nezminnogo znachennya r displaystyle r mi otrimuyemo zvedenu samopodibnu odnoparametrovu minlivist yaku chasto vikoristovuyut dlya sproshennya obchislyuvalnih algoritmiv napriklad u viyavlyanni kutiv osoblivih tochok ta zistavlyanni zobrazhen Zminyuyuchi vidnosnij masshtab integruvannya r 1 displaystyle r geq 1 u takij samopodibnij minlivosti masshtabu mi otrimuyemo inshij alternativnij sposib parametruvannya bagatomasshtabnoyi prirodi napryamkovih danih otrimuvanih shlyahom zbilshennya masshtabu integruvannya Konceptualno podibnu pobudovu mozhlivo vikonati j dlya diskretnih signaliv zaminivshi zgortkovij integral zgortkovoyu sumoyu a neperervne gaussove yadro g x t displaystyle g x t diskretnim gaussovim yadrom T n t displaystyle T n t m x t s n Zk I x n t I T x n t w n s displaystyle mu x t s sum n in mathbb Z k nabla I x n t nabla I text T x n t w n s Pri kvantuvanni parametriv masshtabu t displaystyle t ta s displaystyle s u faktichnomu vtilenni zazvichaj vikoristovuyut skinchennu geometrichnu progresiyu ai displaystyle alpha i de i probigaye vid 0 do deyakogo maksimalnogo indeksu masshtabu m Takim chinom diskretni rivni masshtabu matimut pevnu podibnist do piramidi zobrazhennya hocha prostorovu pidvibirku dlya zberezhennya tochnishih danih dlya nastupnih etapiv obrobki mozhut vikoristovuvati ne obov yazkovo ZastosuvannyaVlasni znachennya strukturnogo tenzora vidigrayut vazhlivu rol u bagatoh algoritmah obrobki zobrazhen dlya takih zadach yak viyavlyannya kutiv osoblivih tochok ta vidstezhuvannya oznak Strukturnij tenzor takozh vidigraye centralnu rol v algoritmi optichnogo potoku Lukasa Kanade ta v jogo rozshirennyah dlya ocinyuvannya afinnogo pristosovuvannya formi de velichina l2 displaystyle lambda 2 ye pokaznikom nadijnosti obchislenogo rezultatu Cej tenzor vikoristovuvali dlya masshtaboprostorovogo analizu ocinyuvannya lokalnogo spryamuvannya poverhni za monokulyarnimi ta binokulyarnimi signalami nelinijnogo difuznoyi obrobki zobrazhen ta kilkoh inshih zadach obrobki zobrazhen Strukturnij tenzor takozh mozhlivo zastosovuvati v geologiyi dlya filtruvannya sejsmichnih danih Obrobka prostorovo chasovih videodanih za dopomogoyu strukturnogo tenzora Trivimirnij strukturnij tenzor vikoristovuvali dlya analizu trivimirnih videodanih yaki rozglyadali yak funkciyu x y ta chasu t Yaksho v comu konteksti nacilyuvatisya na opisuvachi zobrazhennya invariantni shodo galileyevih peretvoren shob umozhliviti porivnyannya vimiryuvan zobrazhennya otrimuvanih za variacij apriorno nevidomih shvidkostej zobrazhennya v vx vy T displaystyle v v x v y text T x y t G xyt x vxty vytt displaystyle begin bmatrix x y t end bmatrix G begin bmatrix x y t end bmatrix begin bmatrix x v x t y v y t t end bmatrix prote z obchislyuvalnoyi tochki zoru krashe parametruvati skladovi v strukturnomu tenzori matrici drugogo momentu S displaystyle S vikoristovuyuchi ponyattya galileyevoyi diagonalizaciyi angl Galilean diagonalization S Rspace TG TSG 1Rspace 1 n1n2n3 displaystyle S R text space text T G text T S G 1 R text space 1 begin bmatrix nu 1 amp amp amp nu 2 amp amp amp nu 3 end bmatrix de G displaystyle G poznachuye galileyeve peretvorennya prostoru chasu a Rspace displaystyle R text space dvovimirne obertannya v prostorovij oblasti porivnyano z vishezaznachenim vikoristannyam vlasnih znachen trivimirnogo strukturnogo tenzora sho vidpovidaye rozkladu na vlasni znachennya ta nefizichnomu trivimirnomu obertannyu prostoru chasu S Rspacetime TSRspacetime 1 l1l2l3 displaystyle S R text spacetime text T S R text spacetime 1 begin bmatrix lambda 1 amp amp amp lambda 2 amp amp amp lambda 3 end bmatrix Prote dlya otrimannya istinnoyi galileyevoyi invariantnosti neobhidno takozh pristosovuvati formu prostorovo chasovoyi vikonnoyi funkciyi vidpovidno do perenesennya afinnogo pristosovuvannya formi z prostorovih do prostorovo chasovih danih zobrazhennya U poyednanni z lokalnimi prostorovo chasovimi gistogramnimi opisuvachami ci koncepciyi razom umozhlivlyuyut galilejnoinvariantne rozpiznavannya prostorovo chasovih podij Div takozhTenzor en Pohidna za napryamkom Gaussove Viyavlyannya kutiv Viyavlyannya konturiv Metod Lukasa Kanade Afinne pristosovuvannya formi Uzagalnenij strukturnij tenzorPrimitkiJ Bigun and G Granlund 1986 Optimal Orientation Detection of Linear Symmetry Tech Report LiTH ISY I 0828 Computer Vision Laboratory Linkoping University Sweden 1986 Thesis Report Linkoping studies in science and technology No 85 1986 angl J Bigun amp G Granlund 1987 Optimal Orientation Detection of Linear Symmetry First int Conf on Computer Vision ICCV London Piscataway IEEE Computer Society Press Piscataway s 433 438 angl H Knutsson 1989 Representing local structure using tensors Proceedings 6th Scandinavian Conf on Image Analysis Oulu Oulu University s 244 251 angl B Jahne 1993 Spatio Temporal Image Processing Theory and Scientific Applications T 751 Berlin Springer Verlag angl G Medioni M Lee amp C Tang March 2000 A Computational Framework for Feature Extraction and Segmentation Elsevier Science angl T Brox J Weickert B Burgeth amp P Mrazek 2004 Nonlinear Structure Tensors Tehnichnij zvit 113 Universitat des Saarlandes angl T Lindeberg 1993 Scale Space Theory in Computer Vision Kluwer Academic Publishers dokladni formulyuvannya togo yak bagatomasshtabna matricya drugogo momentu strukturnij tenzor viznachaye istinne ta odnoznachno viznachene bagatomasshtabne podannya napryamkovih danih div u rozdilah 14 4 1 ta 14 2 3 na storinkah 359 360 ta 355 356 angl J Bigun G Granlund amp J Wiklund 1991 Multidimensional Orientation Estimation with Applications to Texture Analysis and Optical Flow IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 13 8 775 790 doi 10 1109 34 85668 angl M Nicolescu amp G Medioni 2003 Motion Segmentation with Accurate Boundaries A Tensor Voting Approach Proc IEEE Computer Vision and Pattern Recognition T 1 s 382 389 angl Westin C F Maier S E Mamata H Nabavi A Jolesz F A Kikinis R June 2002 Processing and visualization for diffusion tensor MRI Medical Image Analysis angl 6 2 93 108 doi 10 1016 S1361 8415 02 00053 1 PMID 12044998 angl T Lindeberg amp J Garding 1997 Shape adapted smoothing in estimation of 3 D depth cues from affine distortions of local 2 D structure Image and Vision Computing 15 6 415 434 doi 10 1016 S0262 8856 97 01144 X angl J Garding and T Lindeberg 1996 Direct computation of shape cues using scale adapted spatial derivative operators International Journal of Computer Vision volume 17 issue 2 pages 163 191 angl W Forstner 1986 A Feature Based Correspondence Algorithm for Image Processing International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing 26 150 166 angl C Harris amp M Stephens 1988 A Combined Corner and Edge Detector Proc of the 4th ALVEY Vision Conference s 147 151 angl K Rohr 1997 On 3D Differential Operators for Detecting Point Landmarks Image and Vision Computing 15 3 219 233 doi 10 1016 S0262 8856 96 01127 4 angl I Laptev amp T Lindeberg 2003 Space time interest points International Conference on Computer Vision ICCV 03 T I s 432 439 doi 10 1109 ICCV 2003 1238378 angl B Triggs 2004 Detecting Keypoints with Stable Position Orientation and Scale under Illumination Changes Proc European Conference on Computer Vision T 4 s 100 113 angl C Kenney M Zuliani amp B Manjunath 2005 An Axiomatic Approach to Corner Detection Proc IEEE Computer Vision and Pattern Recognition s 191 197 angl A Almansa and T Lindeberg 2000 Enhancement of fingerprint images using shape adaptated scale space operators IEEE Transactions on Image Processing volume 9 number 12 pages 2027 2042 angl J Weickert 1998 Anisotropic diffusion in image processing Teuber Verlag Stuttgart angl D Tschumperle amp R Deriche September 2002 Diffusion PDEs on Vector Valued Images IEEE Signal Processing Magazine 19 5 16 25 doi 10 1109 MSP 2002 1028349 angl S Arseneau amp J Cooperstock September 2006 An Asymmetrical Diffusion Framework for Junction Analysis British Machine Vision Conference T 2 s 689 698 angl S Arseneau amp J Cooperstock November 2006 An Improved Representation of Junctions through Asymmetric Tensor Diffusion International Symposium on Visual Computing angl Yang Shuai Chen Anqing Chen Hongde 25 travnya 2017 Seismic data filtering using non local means algorithm based on structure tensor Open Geosciences 9 1 151 160 Bibcode 2017OGeo 9 13Y doi 10 1515 geo 2017 0013 ISSN 2391 5447 S2CID 134392619 angl T Lindeberg A Akbarzadeh amp I Laptev August 2004 Galilean corrected spatio temporal interest operators International Conference on Pattern Recognition ICPR 04 T I s 57 62 doi 10 1109 ICPR 2004 1334004 angl I Laptev amp T Lindeberg August 2004 Velocity adaptation of space time interest points International Conference on Pattern Recognition ICPR 04 T I s 52 56 doi 10 1109 ICPR 2004 971 angl I Laptev amp T Lindeberg May 2004 Local descriptors for spatio temporal recognition ECCV 04 Workshop on Spatial Coherence for Visual Motion Analysis Prague Czech Republic Springer Lecture Notes in Computer Science T 3667 s 91 103 doi 10 1007 11676959 angl I Laptev B Caputo C Schuldt amp T Lindeberg 2007 Local velocity adapted motion events for spatio temporal recognition Computer Vision and Image Understanding T 108 s 207 229 doi 10 1016 j cviu 2006 11 023 angl ResursiZavantazhiti pervinnij kod MATLAB Posibnik zi strukturnih tenzoriv original angl