Асоціатор

В теорії кілець асоціатор кільця R — це полілінійне відображення ${\displaystyle R\times R\times R\to R,}$ що визначається за формулою

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz).\,}$

Асоціатор трьох елементів рівний нулю тоді і тільки тоді, коли їх множення в заданому порядку є асоціативним. Якщо асоціатор всіх елементів кільця рівний 0, то кільце є асоціативним.

Властивості

В довільному кільці для асоціатора виконується рівність

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].\,}$

Кільце є альтернативним тоді і тільки тоді, коли його асоціатор є альтернативним, тобто

${\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}$

де σ — перестановка елементів ${\displaystyle x,y,z,\mathrm {sgn} \,\sigma }$ — парність цієї перестановки.

Див. також

• Комутатор