Математична оптимізація стосується пошуку найкращого рішення проблеми (за деякими критеріями) із набору можливих рішень. Переважно, проблема оптимізації формулюється як проблема мінімізації, де намагаються мінімізувати помилку, яка залежить від рішення: оптимальне рішення має мінімальну помилку. У різних галузях, таких як механіка, економіка та інженерія, застосовуються різні методи оптимізації, а в міру збільшення складності та обсягу даних необхідні більш ефективні способи вирішення проблем оптимізації. Потужність квантових обчислень може дозволити вирішувати задачі, які практично не можливо розв'язати на класичних комп'ютерах, або запропонувати значну швидкість щодо найбільш відомого класичного алгоритму. Серед інших квантових алгоритмів існують алгоритми квантової оптимізації, які можуть запропонувати вдосконалення у вирішенні завдань оптимізації.
Квантова апроксимація даних
Апроксимація даних — це процес побудови математичної функції, яка найкраще відповідає набору точок даних. Якість придатності вимірюється деякими критеріями, як правило, відстані між функцією та точками даних.
Квантова апроксимація методом найменших квадратів
Один з найпоширеніших типів апроксимації даних — це розв'язання задачі з найменшими квадратами, мінімізація суми квадратів відмінностей між точками даних та вбудованою функцією.
Алгоритм отримує на вхід точок даних і неперервних функцій. Алгоритм знаходить і дає на вихід неперервну функцію , котра є лінійною комбінацією із :
Іншими словами, алгоритм знаходить складний коефіцієнт і, таким чином, знаходить вектор
Алгоритм спрямований на мінімізацію помилки, котра задається:
де ми визначаємо як наступну матрицю:
Квантовий алгоритм апроксимації найменших квадратів використовує версію квантового алгоритму Харроу, Хассідима та Ллойда для лінійних систем рівнянь (HHL) та виводить коефіцієнти і оцінку якості апроксимації . Він складається з трьох підпрограм: алгоритму виконання псевдо зворотної операції, однієї підпрограми для оцінки якості придатності та алгоритму вивчення параметрів придатності.
Оскільки квантовий алгоритм в основному базується на алгоритмі HHL, він пропонує експоненціальне поліпшення у випадку, коли є розрідженою матрицею і число умови (а саме співвідношення між найбільшим і найменшим власними значеннями) обох і невелике.
Квантове напіввизначене програмування
Напіввизначене програмування - це підрозділ оптимізації, що займається оптимізацією лінійної цільової функції (визначена користувачем функція, яка повинна бути мінімізована або максимізована), через перетин конуса позитивних напіввизначених матриць із афінним простором. Цільова функція - це внутрішній добуток матриці (заданий як вхід) зі змінною . Позначимо як простір усіх симетричних матриць. Змінна повинна лежати у еконусі позитивних напіввизначених симетричних матриць . Внутрішній добуток двох матриць визначається як:
Проблема може мати додаткові обмеження (задані як вхідні дані), які також формулюються як внутрішні добутки. Кожне обмеження змушує внутрішній добуток матриць (задане як вхід) із змінною оптимізації бути меншим, ніж задане значення (задається як вхід). Нарешті, проблему можна записати так:
Найкращий відомий класичний алгоритм працює у найгіршому випадку за поліноміальний час.
Квантовий алгоритм
Входи алгоритму: та параметри, точність та оптимальне значення (значення цільової функції в оптимальній точці).
Квантовий алгоритм складається з декількох ітерацій. У кожній ітерації він знаходить будь-яке рішення, що задовольняє наступним умовам (даючи поріг ):
У кожній ітерації вибирається інший поріг , і алгоритм виводить або рішення таке, що (і інші обмеження теж задоволені) або вказівку на відсутність існування такого рішення. Алгоритм виконує двійковий пошук, щоб знайти мінімальний поріг , для якого все ще існує рішення : це дає мінімальну відповідь для задачі.
Квантовий алгоритм забезпечує квадратичне вдосконалення над найкращим класичним алгоритмом у загальному випадку та експоненціальне вдосконалення, коли вхідні матриці низького рангу.
Квантова комбінаторна оптимізація
Проблема комбінаторної оптимізації спрямована на пошук оптимального об'єкта з скінченного набору об'єктів. Проблема може бути сформульована як максимізація цільової функції, яка є сумою булевих функцій. Кожна булева функція отримує на вході -бітний рядок і дає як вихід один біт (0 або 1). Проблема комбінаторної оптимізації бітів і умов є знаходженням -бітового рядка , котрий максимізує функцію
Приблизна оптимізація - це спосіб пошуку приблизного вирішення проблеми оптимізації, який часто є задачею класу NP-важка. Приблизним вирішенням задачі комбінаторної оптимізації є рядок , близький до максимізації .
Квантовий приблизний алгоритм оптимізації
Для комбінаторної оптимізації алгоритм квантової приблизної оптимізації (КПАО) має кращий коефіцієнт наближення, ніж будь-який відомий класичний алгоритм поліноміального часу (для певної проблеми), поки не було запропоновано більш ефективний класичний алгоритм. Відносна прискореність квантового алгоритму є відкритим дослідницьким питанням.
Серце КПАО покладається на використання унітарних операторів, залежних від кутів , де є вхідним цілим числом. Ці оператори ітераційно застосовуються в стані, що є зрівноваженою квантовою суперпозицією всіх можливих станів в обчислювальній основі. У кожній ітерації стан вимірюється в обчислювальній основі і обчислюється . Після достатньої кількості повторень значення є майже оптимальним, і стан, що вимірюється, також близький до оптимального.
У квітні 2021 відбулась демонстрація застосування надпровідного кубітового квантового процесора Sycamore до комбінаторних задач оптимізації з алгоритмом квантової наближеної оптимізації (QAOA). Як і в минулих експериментах QAOA, вивчалась ефективність для проблем, визначених на площинному графіку; однак QAOA також застосовувалась до [en] та [en], для реалізації яких потрібна велика компіляція.
Див також
Посилання
- Moll, Nikolaj; Barkoutsos, Panagiotis; Bishop, Lev S; Chow, Jerry M; Cross, Andrew; Egger, Daniel J; Filipp, Stefan; Fuhrer, Andreas; Gambetta, Jay M (19 червня 2018). Quantum optimization using variational algorithms on near-term quantum devices. Quantum Science and Technology. Т. 3, № 3. с. 030503. doi:10.1088/2058-9565/aab822. ISSN 2058-9565. Процитовано 23 грудня 2019.
- Wiebe, Nathan; Braun, Daniel; Lloyd, Seth (2 серпня 2012). Quantum Algorithm for Data Fitting. Physical Review Letters. Т. 109, № 5. doi:10.1103/physrevlett.109.050505. ISSN 0031-9007. Процитовано 23 грудня 2019.
- Montanaro, Ashley (12 січня 2016). Quantum algorithms: an overview. npj Quantum Information. Т. 2, № 1. doi:10.1038/npjqi.2015.23. ISSN 2056-6387. Процитовано 23 грудня 2019.
- Brandao, Fernando G.S.L.; Svore, Krysta M. (2017-10). Quantum Speed-Ups for Solving Semidefinite Programs. 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). IEEE. doi:10.1109/focs.2017.45. ISBN . Процитовано 23 грудня 2019.
- FARHI, EDWARD; GOLDSTONE, JEFFREY; GUTMANN, SAM; NAGAJ, DANIEL (2008-06). HOW TO MAKE THE QUANTUM ADIABATIC ALGORITHM FAIL. International Journal of Quantum Information. Т. 06, № 03. с. 503—516. doi:10.1142/s021974990800358x. ISSN 0219-7499. Процитовано 23 грудня 2019.
- Barak, Boaz; Raghavendra, Prasad; Steurer, David (2011-10). Rounding Semidefinite Programming Hierarchies via Global Correlation. 2011 IEEE 52nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science. IEEE. doi:10.1109/focs.2011.95. ISBN . Процитовано 23 грудня 2019.
- Harrigan, Matthew P.; Sung, Kevin J.; Neeley, Matthew; Satzinger, Kevin J.; Arute, Frank; Arya, Kunal; Atalaya, Juan; Bardin, Joseph C.; Barends, Rami (2021-03). . Nature Physics (англ.). Т. 17, № 3. с. 332—336. doi:10.1038/s41567-020-01105-y. ISSN 1745-2481. Архів оригіналу за 22 червня 2021. Процитовано 1 травня 2021.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matematichna optimizaciya stosuyetsya poshuku najkrashogo rishennya problemi za deyakimi kriteriyami iz naboru mozhlivih rishen Perevazhno problema optimizaciyi formulyuyetsya yak problema minimizaciyi de namagayutsya minimizuvati pomilku yaka zalezhit vid rishennya optimalne rishennya maye minimalnu pomilku U riznih galuzyah takih yak mehanika ekonomika ta inzheneriya zastosovuyutsya rizni metodi optimizaciyi a v miru zbilshennya skladnosti ta obsyagu danih neobhidni bilsh efektivni sposobi virishennya problem optimizaciyi Potuzhnist kvantovih obchislen mozhe dozvoliti virishuvati zadachi yaki praktichno ne mozhlivo rozv yazati na klasichnih komp yuterah abo zaproponuvati znachnu shvidkist shodo najbilsh vidomogo klasichnogo algoritmu Sered inshih kvantovih algoritmiv isnuyut algoritmi kvantovoyi optimizaciyi yaki mozhut zaproponuvati vdoskonalennya u virishenni zavdan optimizaciyi Kvantova aproksimaciya danihAproksimaciya danih ce proces pobudovi matematichnoyi funkciyi yaka najkrashe vidpovidaye naboru tochok danih Yakist pridatnosti vimiryuyetsya deyakimi kriteriyami yak pravilo vidstani mizh funkciyeyu ta tochkami danih Kvantova aproksimaciya metodom najmenshih kvadrativ Odin z najposhirenishih tipiv aproksimaciyi danih ce rozv yazannya zadachi z najmenshimi kvadratami minimizaciya sumi kvadrativ vidminnostej mizh tochkami danih ta vbudovanoyu funkciyeyu Algoritm otrimuye na vhid N displaystyle displaystyle N tochok danih x1 y1 x2 y2 xN yN x1 y1 x2 y2 xN yN displaystyle displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 x N y N displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 x N y N i M displaystyle displaystyle M neperervnih funkcijf1 f2 fM displaystyle displaystyle f 1 f 2 f M Algoritm znahodit i daye na vihid neperervnu funkciyu fl displaystyle displaystyle f vec lambda kotra ye linijnoyu kombinaciyeyu iz fj displaystyle displaystyle f j fl x j 1Mfj x lj displaystyle displaystyle f vec lambda x sum j 1 M f j x lambda j Inshimi slovami algoritm znahodit skladnij koeficiyent lj displaystyle displaystyle lambda j i takim chinom znahodit vektor l l1 l2 lM displaystyle displaystyle vec lambda lambda 1 lambda 2 lambda M Algoritm spryamovanij na minimizaciyu pomilki kotra zadayetsya E i 1N fl xi yi 2 i 1N j 1Mfj xi lj yi 2 Fl y 2 displaystyle displaystyle E sum i 1 N left vert f vec lambda x i y i right vert 2 sum i 1 N left vert sum j 1 M f j x i lambda j y i right vert 2 left vert F vec lambda vec y right vert 2 de mi viznachayemo F displaystyle F yak nastupnu matricyu F f1 x1 fM x1 f1 x2 fM x2 f1 xN fM xN displaystyle displaystyle F begin pmatrix f 1 x 1 amp cdots amp f M x 1 f 1 x 2 amp cdots amp f M x 2 vdots amp ddots amp vdots f 1 x N amp cdots amp f M x N end pmatrix Kvantovij algoritm aproksimaciyi najmenshih kvadrativ vikoristovuye versiyu kvantovogo algoritmu Harrou Hassidima ta Llojda dlya linijnih sistem rivnyan HHL ta vivodit koeficiyenti lj displaystyle displaystyle lambda j i ocinku yakosti aproksimaciyi E displaystyle displaystyle E Vin skladayetsya z troh pidprogram algoritmu vikonannya psevdo zvorotnoyi operaciyi odniyeyi pidprogrami dlya ocinki yakosti pridatnosti ta algoritmu vivchennya parametriv pridatnosti Oskilki kvantovij algoritm v osnovnomu bazuyetsya na algoritmi HHL vin proponuye eksponencialne polipshennya u vipadku koli F displaystyle displaystyle F ye rozridzhenoyu matriceyu i chislo umovi a same spivvidnoshennya mizh najbilshim i najmenshim vlasnimi znachennyami oboh FF displaystyle displaystyle FF dagger i F F displaystyle displaystyle F dagger F nevelike Kvantove napivviznachene programuvannyaNapivviznachene programuvannya ce pidrozdil optimizaciyi sho zajmayetsya optimizaciyeyu linijnoyi cilovoyi funkciyi viznachena koristuvachem funkciya yaka povinna buti minimizovana abo maksimizovana cherez peretin konusa pozitivnih napivviznachenih matric iz afinnim prostorom Cilova funkciya ce vnutrishnij dobutok matrici C displaystyle displaystyle C zadanij yak vhid zi zminnoyu X displaystyle displaystyle X Poznachimo Sn displaystyle displaystyle mathbb S n yak prostir usih n n displaystyle displaystyle n times n simetrichnih matric Zminna X displaystyle displaystyle X povinna lezhati u ekonusi pozitivnih napivviznachenih simetrichnih matric S n displaystyle displaystyle mathbb S n Vnutrishnij dobutok dvoh matric viznachayetsya yak A B Sn tr ATB i 1 j 1nAijBij displaystyle langle A B rangle mathbb S n rm tr A T B sum i 1 j 1 n A ij B ij Problema mozhe mati dodatkovi obmezhennya zadani yak vhidni dani yaki takozh formulyuyutsya yak vnutrishni dobutki Kozhne obmezhennya zmushuye vnutrishnij dobutok matric Ak displaystyle displaystyle A k zadane yak vhid iz zminnoyu optimizaciyi X displaystyle displaystyle X buti menshim nizh zadane znachennya bk displaystyle b k zadayetsya yak vhid Nareshti problemu mozhna zapisati tak minX Sn C X Snsubject to Ak X Sn bk k 1 mX 0 displaystyle begin array rl displaystyle min X in mathbb S n amp langle C X rangle mathbb S n text subject to amp langle A k X rangle mathbb S n leq b k quad k 1 ldots m amp X succeq 0 end array Najkrashij vidomij klasichnij algoritm pracyuye u najgirshomu vipadku za polinomialnij chas Kvantovij algoritm Vhodi algoritmu A1 Am C b1 bm displaystyle displaystyle A 1 A m C b 1 b m ta parametri tochnist ta optimalne znachennya znachennya cilovoyi funkciyi v optimalnij tochci Kvantovij algoritm skladayetsya z dekilkoh iteracij U kozhnij iteraciyi vin znahodit bud yake rishennya sho zadovolnyaye nastupnim umovam dayuchi porig t displaystyle displaystyle t C X Sn t Ak X Sn bk k 1 mX 0 displaystyle displaystyle begin array lr langle C X rangle mathbb S n leq t langle A k X rangle mathbb S n leq b k quad k 1 ldots m X succeq 0 end array U kozhnij iteraciyi vibirayetsya inshij porig t displaystyle displaystyle t i algoritm vivodit abo rishennya X displaystyle displaystyle X take sho C X Sn t displaystyle displaystyle langle C X rangle mathbb S n leq t i inshi obmezhennya tezh zadovoleni abo vkazivku na vidsutnist isnuvannya takogo rishennya Algoritm vikonuye dvijkovij poshuk shob znajti minimalnij porig t displaystyle displaystyle t dlya yakogo vse she isnuye rishennya X displaystyle displaystyle X ce daye minimalnu vidpovid dlya zadachi Kvantovij algoritm zabezpechuye kvadratichne vdoskonalennya nad najkrashim klasichnim algoritmom u zagalnomu vipadku ta eksponencialne vdoskonalennya koli vhidni matrici nizkogo rangu Kvantova kombinatorna optimizaciyaProblema kombinatornoyi optimizaciyi spryamovana na poshuk optimalnogo ob yekta z skinchennogo naboru ob yektiv Problema mozhe buti sformulovana yak maksimizaciya cilovoyi funkciyi yaka ye sumoyu bulevih funkcij Kozhna buleva funkciya Ca 0 1 n 0 1 displaystyle displaystyle C alpha colon lbrace 0 1 rbrace n rightarrow lbrace 0 1 rbrace otrimuye na vhodi n displaystyle displaystyle n bitnij ryadok z z1z2 zn displaystyle displaystyle z z 1 z 2 ldots z n i daye yak vihid odin bit 0 abo 1 Problema kombinatornoyi optimizaciyi n displaystyle displaystyle n bitiv i m displaystyle displaystyle m umov ye znahodzhennyam n displaystyle displaystyle n bitovogo ryadka z displaystyle displaystyle z kotrij maksimizuye funkciyu C z a 1mCa z displaystyle displaystyle C z sum alpha 1 m C alpha z Priblizna optimizaciya ce sposib poshuku pribliznogo virishennya problemi optimizaciyi yakij chasto ye zadacheyu klasu NP vazhka Pribliznim virishennyam zadachi kombinatornoyi optimizaciyi ye ryadok z displaystyle displaystyle z blizkij do maksimizaciyi C z displaystyle displaystyle C z Kvantovij pribliznij algoritm optimizaciyi Dlya kombinatornoyi optimizaciyi algoritm kvantovoyi pribliznoyi optimizaciyi KPAO maye krashij koeficiyent nablizhennya nizh bud yakij vidomij klasichnij algoritm polinomialnogo chasu dlya pevnoyi problemi poki ne bulo zaproponovano bilsh efektivnij klasichnij algoritm Vidnosna priskorenist kvantovogo algoritmu ye vidkritim doslidnickim pitannyam Serce KPAO pokladayetsya na vikoristannya unitarnih operatoriv zalezhnih vid kutiv 2p displaystyle displaystyle 2p de p gt 1 displaystyle displaystyle p gt 1 ye vhidnim cilim chislom Ci operatori iteracijno zastosovuyutsya v stani sho ye zrivnovazhenoyu kvantovoyu superpoziciyeyu vsih mozhlivih staniv v obchislyuvalnij osnovi U kozhnij iteraciyi stan vimiryuyetsya v obchislyuvalnij osnovi i obchislyuyetsya C z displaystyle displaystyle C z Pislya dostatnoyi kilkosti povtoren znachennya C z displaystyle displaystyle C z ye majzhe optimalnim i stan sho vimiryuyetsya takozh blizkij do optimalnogo U kvitni 2021 vidbulas demonstraciya zastosuvannya nadprovidnogo kubitovogo kvantovogo procesora Sycamore do kombinatornih zadach optimizaciyi z algoritmom kvantovoyi nablizhenoyi optimizaciyi QAOA Yak i v minulih eksperimentah QAOA vivchalas efektivnist dlya problem viznachenih na ploshinnomu grafiku odnak QAOA takozh zastosovuvalas do en ta en dlya realizaciyi yakih potribna velika kompilyaciya Div takozhKvantova perevaga Kvantove programuvannya Kvantove rozpovsyudzhennya klyuchaPosilannyaMoll Nikolaj Barkoutsos Panagiotis Bishop Lev S Chow Jerry M Cross Andrew Egger Daniel J Filipp Stefan Fuhrer Andreas Gambetta Jay M 19 chervnya 2018 Quantum optimization using variational algorithms on near term quantum devices Quantum Science and Technology T 3 3 s 030503 doi 10 1088 2058 9565 aab822 ISSN 2058 9565 Procitovano 23 grudnya 2019 Wiebe Nathan Braun Daniel Lloyd Seth 2 serpnya 2012 Quantum Algorithm for Data Fitting Physical Review Letters T 109 5 doi 10 1103 physrevlett 109 050505 ISSN 0031 9007 Procitovano 23 grudnya 2019 Montanaro Ashley 12 sichnya 2016 Quantum algorithms an overview npj Quantum Information T 2 1 doi 10 1038 npjqi 2015 23 ISSN 2056 6387 Procitovano 23 grudnya 2019 Brandao Fernando G S L Svore Krysta M 2017 10 Quantum Speed Ups for Solving Semidefinite Programs 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science FOCS IEEE doi 10 1109 focs 2017 45 ISBN 978 1 5386 3464 6 Procitovano 23 grudnya 2019 FARHI EDWARD GOLDSTONE JEFFREY GUTMANN SAM NAGAJ DANIEL 2008 06 HOW TO MAKE THE QUANTUM ADIABATIC ALGORITHM FAIL International Journal of Quantum Information T 06 03 s 503 516 doi 10 1142 s021974990800358x ISSN 0219 7499 Procitovano 23 grudnya 2019 Barak Boaz Raghavendra Prasad Steurer David 2011 10 Rounding Semidefinite Programming Hierarchies via Global Correlation 2011 IEEE 52nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science IEEE doi 10 1109 focs 2011 95 ISBN 978 0 7695 4571 4 Procitovano 23 grudnya 2019 Harrigan Matthew P Sung Kevin J Neeley Matthew Satzinger Kevin J Arute Frank Arya Kunal Atalaya Juan Bardin Joseph C Barends Rami 2021 03 Nature Physics angl T 17 3 s 332 336 doi 10 1038 s41567 020 01105 y ISSN 1745 2481 Arhiv originalu za 22 chervnya 2021 Procitovano 1 travnya 2021