Ігри диференціальні — напрям у теорії процесів, які описуються диференціальними рівняннями.
Диференціальні ігри мають властивості, характерні як для , так і для теорії ігор. Безпосередньою причиною розвитку теорії диференціальних ігор стали прикладні задачі, в тому числі, військові.
Приклад диференціальної гри
Типовим прикладом задачі диференціальної гри може слугувати задача перехоплення бомбардувальника противника винищувачем. Обидва об'єкти (і винищувач, і бомбардувальник) керовані, і їхня поведінка залежить від того, яким чином діють пілоти. Однак керування перебуває в руках різних осіб з протилежними інтересами: бомбардувальник ухиляється від зустрічі, а винищувач переслідує його.
Складність задачі керування для пілота винищувача полягає в тому, що в нього відсутня інформація про майбутнє керування противника. Він знає технічні можливості літака, знає його положення в цей час, однак не може знати, яке рішення про своє керування прийме пілот бомбардувальника в кожний наступний момент часу. Тому його рішення має базуватись на ситуації, яка склалась до цього моменту.
Формальне визначення диференціальної гри
Формально, в загальній формі, диференціальна гра може бути сформульована таким чином. Є об'єкт керування, поведінка якого описується :
- , (1)
де x — n-вимірний вектор з компонентами x1, …, xn, а f(x, u) — n-вимірна вектор-функція із компонентами fi(x, u), i = 1, …, n, u та v — керуючі параметри, які представляють r-вимірний та s-вимірний вектори відповідно, які можуть змінюватись на множинах U та V. Крім того, задано M ⊂ En, де En — n-.
Нехай вибрано дві будь-які функції u(x) та v(x) так, що u(x) ∈ U, v(x) ∈ V і рівняння
- (2)
має розв'язок. Тоді для кожного початкового стану визначена траєкторія x(t) системи (2) і визначений функціонал
,
де t1 — перший момент часу, коли x(t) ∈ M. Якщо такий момент відсутній, то вважається, що I = + ∞. Задача теорії диференціальних ігор тепер полягає в з'ясуванні питання про те, за яких умов і для яких точок x0 можливо знайти такі функції u0(x) та v0(x), що
.
В такій постановці задачу розв'язано лише для невеликої кількості окремих випадків. Для випадку, коли множина M збігається з всім простором, а t1 — фіксовано, доведено існування розв'язку гри в деякому узагальненому сенсі. Для загального випадку отримані результати в припущенні деякої дискримінаційної функції другого гравця, який займається керуванням v. А саме: вважається, що приймаючи своє рішення, перший гравець знає майбутнє керування другого на деякому малому відрізку часу. В цьому випадку вдається довести, що весь простір початкових положень може бути розбито на дві області так, що виходячи із першої області, перший гравець завжди може гарантувати собі завершення гри з кінцевою ціною I. В той же час, як в точках другої області він не може собі гарантувати жодного скінченного значення ціни. Побудовано достатні умови можливості завершення гри зі скінченою ціною. Ці умови можна застосувати в основному для розв'язування задач з лінійним об'єктом керування.
Див. також
Література
- Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М. : Мир, 1967. — 480 с.
- Оуэн Г. Теория игр. — М. : Мир, 1971. — 232 с.
Джерела
- Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. Н., т. 1, c. 342—343.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Igri diferencialni napryam u teoriyi procesiv yaki opisuyutsya diferencialnimi rivnyannyami Diferencialni igri mayut vlastivosti harakterni yak dlya teoriyi optimalnogo keruvannya tak i dlya teoriyi igor Bezposerednoyu prichinoyu rozvitku teoriyi diferencialnih igor stali prikladni zadachi v tomu chisli vijskovi Zmist 1 Priklad diferencialnoyi gri 2 Formalne viznachennya diferencialnoyi gri 3 Div takozh 4 Literatura 5 DzherelaPriklad diferencialnoyi grired Tipovim prikladom zadachi diferencialnoyi gri mozhe sluguvati zadacha perehoplennya bombarduvalnika protivnika vinishuvachem Obidva ob yekti i vinishuvach i bombarduvalnik kerovani i yihnya povedinka zalezhit vid togo yakim chinom diyut piloti Odnak keruvannya perebuvaye v rukah riznih osib z protilezhnimi interesami bombarduvalnik uhilyayetsya vid zustrichi a vinishuvach peresliduye jogo Skladnist zadachi keruvannya dlya pilota vinishuvacha polyagaye v tomu sho v nogo vidsutnya informaciya pro majbutnye keruvannya protivnika Vin znaye tehnichni mozhlivosti litaka znaye jogo polozhennya v cej chas odnak ne mozhe znati yake rishennya pro svoye keruvannya prijme pilot bombarduvalnika v kozhnij nastupnij moment chasu Tomu jogo rishennya maye bazuvatis na situaciyi yaka sklalas do cogo momentu Formalne viznachennya diferencialnoyi grired Formalno v zagalnij formi diferencialna gra mozhe buti sformulovana takim chinom Ye ob yekt keruvannya povedinka yakogo opisuyetsya sistemoyu diferencialnih rivnyan d x d t f x u v displaystyle frac mathrm d x mathrm d t f x u v nbsp 1 de x n vimirnij vektor z komponentami x1 xn a f x u n vimirna vektor funkciya iz komponentami fi x u i 1 n u ta v keruyuchi parametri yaki predstavlyayut r vimirnij ta s vimirnij vektori vidpovidno yaki mozhut zminyuvatis na mnozhinah U ta V Krim togo zadano terminalnu mnozhinu M En de En n vimirnij prostir Nehaj vibrano dvi bud yaki funkciyi u x ta v x tak sho u x U v x V i rivnyannya d x d t f x u x v x displaystyle frac mathrm d x mathrm d t f x u x v x nbsp 2 maye rozv yazok Todi dlya kozhnogo pochatkovogo stanu viznachena trayektoriya x t sistemi 2 i viznachenij funkcional I y v x 0 displaystyle I y cdot v cdot x 0 nbsp 0 t 1 f 0 x t u x t displaystyle int 0 t 1 f 0 x t u x t nbsp v x t displaystyle v x t nbsp de t1 pershij moment chasu koli x t M Yaksho takij moment vidsutnij to vvazhayetsya sho I Zadacha teoriyi diferencialnih igor teper polyagaye v z yasuvanni pitannya pro te za yakih umov i dlya yakih tochok x0 mozhlivo znajti taki funkciyi u0 x ta v0 x sho I u 0 v x 0 I u 0 v 0 x 0 displaystyle I u 0 cdot v cdot x 0 leq I u 0 cdot v 0 cdot x 0 nbsp I u v 0 x 0 displaystyle leq I u cdot v 0 cdot x 0 nbsp V takij postanovci zadachu rozv yazano lishe dlya nevelikoyi kilkosti okremih vipadkiv Dlya vipadku koli mnozhina M zbigayetsya z vsim prostorom a t1 fiksovano dovedeno isnuvannya rozv yazku gri v deyakomu uzagalnenomu sensi Dlya zagalnogo vipadku otrimani rezultati v pripushenni deyakoyi diskriminacijnoyi funkciyi drugogo gravcya yakij zajmayetsya keruvannyam v A same vvazhayetsya sho prijmayuchi svoye rishennya pershij gravec znaye majbutnye keruvannya drugogo na deyakomu malomu vidrizku chasu V comu vipadku vdayetsya dovesti sho ves prostir pochatkovih polozhen mozhe buti rozbito na dvi oblasti tak sho vihodyachi iz pershoyi oblasti pershij gravec zavzhdi mozhe garantuvati sobi zavershennya gri z kincevoyu cinoyu I V toj zhe chas yak v tochkah drugoyi oblasti vin ne mozhe sobi garantuvati zhodnogo skinchennogo znachennya cini Pobudovano dostatni umovi mozhlivosti zavershennya gri zi skinchenoyu cinoyu Ci umovi mozhna zastosuvati v osnovnomu dlya rozv yazuvannya zadach z linijnim ob yektom keruvannya Div takozhred Diferencialni rivnyannya Teoriya igor Peresliduvannya uhilennyaLiteraturared Ajzeks R Differencialnye igry M Mir 1967 480 s Ouen G Teoriya igr M Mir 1971 232 s Dzherelared Enciklopediya kibernetiki Pshenichnij B N t 1 c 342 343 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencialna gra amp oldid 43158852