Циклічний підклас

Циклічні підкласи — підмножини нерозкладного періодичного класу ланцюга Маркова такі, що ланцюг проходить їх один за одним по черзі.

Теорема

Нехай дано ланцюг Маркова ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ з дискретним часом, дискретним простором станів ${\displaystyle S}$ і матрицею перехідних ймовірностей ${\displaystyle P}$. Нехай ${\displaystyle C\subset S}$ — станів періодом ${\displaystyle d}$. тоді існує розбиття множини ${\displaystyle C}$: ${\displaystyle C_{0},\ldots ,C_{d-1}\subset C}$, тобто

${\displaystyle C_{k}\cap C_{l}=\emptyset ,\;k\not =l,\quad \bigcup \limits _{k=0}^{d-1}C_{k}=C}$

таке, що

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n+1}\in C_{k+1\!\!\!\!\!\mod d}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N} }$.

Зауваження

Таким чином усередині будь-якого нерозкладного періодичного класу ланцюг Маркова описує шлях:

${\displaystyle C_{k}\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_{0}\to \cdots \to C_{k-1}\to C_{k}\to \cdots }$,

де ${\displaystyle k}$ — індекс початкової підмножини.

Визначення

Побудовані таким чином підмножини ${\displaystyle C_{k},\;k=1,\ldots ,d-1}$ називаються циклічними підкласами.

Ланцюг всередині циклічного підкласу

Очевидно маємо:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n+d}\in C_{k}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N} }$,

тобто через кожні ${\displaystyle d}$ кроків ланцюг повертається в той же циклічний підклас. Тоді для будь-якого фіксованого ${\displaystyle k=0,\ldots ,d-1}$ можна побудувати новий ланцюг Маркова ${\displaystyle \left\{X_{n}^{(k)}\right\}_{n\geq 0}}$ з множиною станів ${\displaystyle C_{k}}$ і матрицею перехідних ймовірностей ${\displaystyle P^{d}}$. Цей ланцюг буде і аперіодичним. Таким чином, вивчення багатьох питань поведінки ланцюга Маркова зводиться до випадку аперіодичного нерозкладного ланцюга.