Поле розкладу многочлена

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем ${\displaystyle K}$ — найменше розширення поля, над яким ${\displaystyle p}$ розкладається в добуток лінійних множників:

${\displaystyle p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),\ x_{1},\dots ,x_{n}\in L,\quad L\supset K.}$

При цьому ${\displaystyle L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ тому поле розкладу ${\displaystyle L}$ також називається розширенням, одержаним приєднанням до ${\displaystyle K}$ всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів ${\displaystyle p_{i}(x),i\in I}$ — розширення L, для якого кожен p_i розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями p_i. Поле розкладу скінченної множини многочленів p₁,p₂...p_n, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p₁p₂...p_n Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Властивості

• Поле розкладу скінченної сім'ї многочленів є скінченним алгебраїчним розширенням поля ${\displaystyle K}$.
• Поле розкладу многочлена існує для будь-якого сімейства многочлена p_i і визначене однозначно з точністю до ізоморфізму, тотожного на K.
• Для поля ${\displaystyle K}$ характеристики 0, поле розкладу многочлена ${\displaystyle (x^{m}-a),\quad a\in K}$ завжди містить первісний корінь степені ${\displaystyle m}$ з одиниці.
• Мінімальний многочлен довільного елемента поля розкладу в цьому полі теж розкладається на лінійні множники.

Приклади

• Якщо степінь многочлена ${\displaystyle p}$ не перевершує ${\displaystyle 1}$, то ${\displaystyle L=K}$.
• Поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — поле розкладу многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел.
• Будь-яке скінченне поле ${\displaystyle GF(q)}$, де ${\displaystyle q=p^{n}}$, є полем розкладу многочлена ${\displaystyle x^{q}-x}$ над простим підполем ${\displaystyle GF(p)\subset GF(q)}$.
• Полем розкладу x² + 1 над GF₇ є GF₄₉.

Побудова поля розкладу

Нехай ${\displaystyle K}$ — поле і p(x) многочлен над ${\displaystyle K}$ степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів ${\displaystyle K=K_{0},K_{1},\dots K_{r-1},K_{r}=L}$, де ${\displaystyle K_{i}}$ є розширенням ${\displaystyle K_{i-1}}$, що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення ${\displaystyle K_{i}}$ можна побудувати за допомогою наступних кроків:

• Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle p(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)}$.
• Нехай ${\displaystyle f(x)=f_{i}(x)}$ — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
• Розширення ${\displaystyle K_{i+1}}$ поля ${\displaystyle K_{i}}$ визначається як фактор-кільце ${\displaystyle K_{i+1}=K_{i}[x]/(f(x))}$ де (f(x)) — ідеал в кільці ${\displaystyle K_{i}[x]}$ породжений f(x).
• Процедура побудови ${\displaystyle K_{i+1}}$ продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени ${\displaystyle f_{i}}$ можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому ${\displaystyle K_{i}[x]/(f(x))}$ — поле. Якщо ${\displaystyle \pi :K_{i}[x]\to K_{i}[x]/(f_{1}(x))}$ є проєкцією кільця на фактор кільце, то ${\displaystyle f(\pi (x))=\pi (f(x))=f(x){\bmod {f}}(x)=0}$ отже ${\displaystyle \pi (x)}$ є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [${\displaystyle K_{i+1}:K_{i}}$] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна ${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$ і не перевищує n!.

Література

• Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)