Задача про перебірливу наречену

Задача про перебірливу наречену, або проблема зупинки вибору може бути сформульована таким чином:

1. Наречена підбирає собі судженого (існує єдине вакантне місце).
2. Є відоме число n претендентів.
3. Про кожного претендента можна сказати, що він кращий чи гірший від іншого.
4. Наречена спілкується з претендентами у випадковому порядку.
5. В результаті спілкування з кожним нареченим наречена повинна йому відмовити або прийняти його пропозицію.
6. Рішення ухвалюється тільки виходячи з оцінки претендента в порівнянні з попередніми.
7. Знехтувані женихи не повертаються.
8. Мета: вибрати найкращого претендента.

Цьому завданню було приділено багато уваги саме тому, що оптимальна стратегія має цікаву особливість. А саме: якщо число кандидатів досить велике (порядку сотні), оптимальна стратегія буде полягати у відхиленні всіх перших n/e (де e- основа натурального логарифма ) претендентів і потім вибрати першого, хто буде кращим від всіх попередніх або дійти до кінця. При збільшенні n, ймовірність вибору найкращого претендента прямує до 1/e, тобто приблизно до 37 %.

Виведення оптимальної стратегії

Оптимальним підходом для цієї задачі є правило зупину. Згідно з ним, наречена відмовляє першим r претендентам (нехай претендент M буде найкращим серед цих r претендентів), і тоді вибирає першого з наступних претендентів, який є кращим ніж претендент M. Для довільного r розглянемо ймовірність обрання найкращого претендента.

Нехай подія ${\displaystyle B_{r}}$ полягає в обранні найкращого претендента, а подія ${\displaystyle A_{k}}$ полягає в тому, що найкращим є претендент ${\displaystyle k.}$ Отже, повна ймовірність становить

${\displaystyle {\mbox{P}}(B_{r})=\sum _{k=r+1}^{n}{\mbox{P}}(B_{r}|A_{k}){\mbox{P}}(A_{k}).}$

Ми можемо стартувати з ${\displaystyle r+1,}$ бо якщо найкращий претендент є серед перших ${\displaystyle r,}$ то наречена відмовила йому. За умови події ${\displaystyle A_{k},}$ подія ${\displaystyle B_{k}}$ відбудеться лише якщо найкращий претендент з перших ${\displaystyle k-1}$ перебуває серед перших ${\displaystyle r,}$ яким наречена відмовила. Тепер, для будь-якого довільного впорядкування ${\displaystyle k-1}$ різних чисел, ймовірність того, що найбільше з них є серед перших ${\displaystyle r}$ становить ${\displaystyle r/(k-1).}$ З цього випливає, що

${\displaystyle {\mbox{P}}(B_{r})=\sum _{k=r+1}^{n}{\frac {r}{k-1}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {r}{n}}\sum _{j=r}^{n-1}{\frac {1}{j}}.}$

Див. також

Примітки

1. С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста, с. 3-4, М.: МЦНМО, 2003
2. С. М. Гусейн-Заде, Разборчивая невеста. с. 18, М.: МЦНМО, 2003

Посилання

• С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста. Библиотека «Математическое просвещение», том 25, МЦНМО, 2003
• С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста. Видео-лекция. , МГУ, 30.11.2002.