Тренд (статистика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Тренд (значення).

Тренд (від англ. Trend — тенденція) — загальна тенденція при різнонаправленому русі, визначена загальною спрямованістю змін показників часового ряду. Графіки можуть описуватись різними рівняннями — лінійними, логарифмічними, степеневими і т. д.. Фактичний тип графіка встановлюють за графічним зображенням даних часового ряду, шляхом усереднення показників часового ряду, на основі статистичної перевірки гіпотези про сталість параметрів графіка.

Тренд — різні автори дають різні визначення але в широкому розумінні, тренд — це тривала зміна рівня середнього випадкового процесу.

Визначення

Найпростішим прикладом є лінійний тренд + шум, відповідно до якого спостереження в момент ${\displaystyle t\,}$, це випадкова змінна ${\displaystyle X_{t}}$, що визначається як:

${\displaystyle X_{t}=\alpha +\beta t+\varepsilon _{t}}$,

де ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ — константи, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ — випадкова помилка з нульовим середнім.

Рівень середнього визначається як ${\displaystyle m_{t}=(\alpha +\beta t)}$; та інколи називається трендовою складовою. Деякі автори називають трендом нахил ${\displaystyle \beta }$; тоді тренд — це зміна рівня середнього за одиницю часу. Зазвичай, сенс тренду випливає із контексту його вживання.

Тренд в наведеному рівнянні є детермінованою функцією та інколи називається глобальним лінійним трендом. Якщо параметри ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ можуть змінюватись з часом, то такий тренд називають локальним. Як варіант, тренд може зростати пропорційно квадрату часу.

Аналіз часових рядів з трендами залежить від задачі:

• обчислення тренду, усунення випадкових відхилень;
• обчислення та усунення тренду з метою дослідження відхилень.

Наявність сезонних коливань також має вплив на методи дослідження трендів.

Наближення кривою

Докладніше: Апроксимація

Традиційним методом обробки даних, що містять несезонний тренд є апроксимація (наближення) простою функцією, такою, як наприклад, деякий поліном, крива Ґомперца або логістична крива. Крива Ґомперца визначається як:

${\displaystyle \log x_{t}=a+br^{2}}$

де ${\displaystyle a,b,r}$ — параметри, ${\displaystyle 0<r<1}$, а логістична крива визначається як:

${\displaystyle x_{t}=a/(1+be^{-ct})}$

Для всіх кривих цього виду, наближена функція визначає тренд, а залишки — оцінку рівня випадкових коливань.

Фільтрування

Іншим методом аналізу трендів є застосування лінійного фільтру, що перетворює часовий ряд ${\displaystyle \{x_{t}\}}$ на ${\displaystyle \{y_{t}\}}$ шляхом застосування лінійного перетворення:

${\displaystyle y_{t}=\sum _{r=-q}^{+s}a_{r}x_{t+r}}$,

де ${\displaystyle a_{r}}$ — набір коефіцієнтів (ваг). Якщо сума коефіцієнтів дорівнює 1, то такий фільтр називають ковзаючим середнім.

Примітки

1. Levenbach and Reuter. Forecasting trending time series with relative growth rate models // Technometrics. — 1976.
2. Meade. The use of growth curves in forecasting market development - a review of appraisal // J. of Forecasting. — 1984.

Джерела інформації

• Chris Chatfield (1996). The Analysis of Time Series, an Introduction (вид. 5-те). Chapman & Hall/CRC. с. 33.

Див. також

• Ковзаюче середнє
• Математичне моделювання
• Лінії тренду