Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгоритм стиснення Любачевського Стілінжера Lubachevsky Stillinger compression algorithm алгоритм ЛС ЛСА протокол ЛС обч

Алгоритм Любачевського — Стілінжера

Алгоритм Любачевського — Стілінжера

Алгоритм (стиснення) Любачевського — Стілінжера (Lubachevsky-Stillinger compression algorithm, алгоритм ЛС, ЛСА, протокол ЛС) — обчислювальна процедура, запропонована [en] і Борисом Любачевським (Boris Dmitrievich Lubachevsky), яка імітує процес механічного стиснення набору твердих частинок.

image
Одна тисяча конгруентних рівнобедрених трикутників хаотично упаковані в прямокутнику з [en]. Щільність пакування (покриття площі частинками) становить 0,8776. Внутрішній прямокутник показує період утвореної структури.

Феноменологія (що моделюється)

Механічне стискання зазвичай здійснюється стінкою посудини, яка містить частинки, наприклад, поршнем. ЛСА здатний моделювати такий процес. Однак, у початковому формулюванні ЛСА не було твердих стінок посудини, а частинки ніби «розпухали», збільшуючись у розмірі, але перебуваючи у фіксованому і скінченному віртуальному об'ємі з [en]. Тоді як абсолютні розміри частинок збільшувалися, співвідношення їхніх розмірів залишалося незмінним. У загальному випадку, ЛСА може впоратися і з зовнішнім стисненням, і з внутрішнім розширенням частинок, що відбуваються одночасно і, можливо, але не обов'язково, поєднуються з присутніми твердими стінками посудини. До того ж ці стінки можуть бути рухомими.

В остаточному стиснутому масиві можуть знайтися частинки, які «стиснутими» не будуть, а, навпаки, будуть рухливі в межах, наданих їхніми стиснутими частинками-сусідами і, можливо, твердими стінками посудини. Поява вільних частинок не є ні артефактом, ні наперед заданим явищем, яке ЛСА мав би продемонструвати. Вони дійсно виникають у стиснутому масиві твердих частинок, ставши навіть деякою несподіванкою для творців ЛСА. [de] запропонував для подібної частинки назву «ратлер» (rattler — брязкальце), оскільки якщо потрясти стиснутий масив твердих частинок, ратлери будуть «бряжчати».

У початковій фазі «стискання», коли щільність заповнення частинками доступного об'єму низька і коли всі частинки рухливі, процеси зовнішнього стиснення і внутрішнього розширення частинок можна зупинити. ЛСА, що продовжує працювати після такої зупинки, буде моделювати сипуче тіло. Можна змоделювати різні механізми твердих зіткнень, такі як: ідеально пружні чи з тільки частковим відновленням, ідеально ковзні і з тертям. Мри моделюванні зіткнень можна взяти до уваги різні маси частинок. Також можливо і деколи виявляється корисним «розріджувати» всю конфігурацію частинок, зменшуючи розміри всіх або деяких частинок.

Інше можливе застосування ЛСА — це заміна силового потенціалу твердого зіткнення частинок (такий потенціал дорівнює нулю поза частинкою і стає нескінченністю на поверхні і всередині частинки) кусково-сталим потенціалом. Таким чином модифікований ЛСА апроксимує моделювання взаємодії джерел близькодійного силового поля. Зовнішні силові поля, такі як гравітаційне, також можна ввести остільки, оскільки проліт частинки між зіткненнями можна змоделювати простим однокроковим обчисленням.

Використання ЛСА для сферичних частинок різних розмірів і/або в контейнерах з «незручними» розмірами виявилося ефективним методом для отримання і демонстрації мікроструктурних порушень пов'язаних з дефектами кристалів і з геометричною фрустрацією. Можна додати, що початковий протокол ЛС призначався, головним чином, для сфер одного або різних діаметрів. Найменше відхилення від форми сфери (кола на площині), навіть таке, як використання еліпсоїдів (або, якщо на площині, то еліпсів), суттєво уповільнює обчислення. Але якщо форма всіх частинок сферична, ЛСА справляється з наборами з десятків і сотень тисяч частинок на звичайних сучасних (2011) персональних комп'ютерах. Є тільки незначний досвід використання ЛСА в розмірностях вищих від трьох.

Втілення

Стан стиснутості досягається моделюванням сипучого тіла. Сипучість, у свою чергу, подається як послідовність дискретних подій, де подіями виявляються зіткнення між частинками, а також зіткнення частинок з твердими стінками, якщо такі є. Ідеально, якби обчислення проводилися з нескінченною точністю, досягнення стану стиснутості вимагало б нескінченного числа обчислювальних кроків. Реально обчислення проводяться зі скінченною точністю, і також скінченною є роздільність подання дійсних чисел у пам'яті комп'ютера, наприклад, за (подвійної точності). Реальні обчислення зупиняються, коли пробіг усіх частинок між зіткненнями (виключно з пробігом ратлерів) стає меншим, ніж деякий малий поріг, встановлений явно, або, частіше, неявно. Наприклад, немає сенсу продовжувати обчислення, якщо пробіг став меншим від похибки округлення.

ЛСА обчислювально ефективний у тому сенсі, що події опрацьовуються переважно в подійно-орієнтованому стилі, а не в реальному часі. Це означає, зокрема, що обчислення майже не витрачаються на перегляд та підтримання у порядку позицій і швидкостей частинок між зіткненнями. Серед подібних подійно-орієнтованих алгоритмів, також призначених для моделювання сипучих тіл, як, наприклад, алгоритм Д. Рапапорта (D. C. Rapaport), ЛСА виділяється особливою простотою структури даних і способу керування цією структурою.

Для будь-якої частинки й на будь-якій стадії обчислень ЛСА зберігає запис лише про дві події: про прораховану, яка вже відбулася, і про нову, ще тільки намічену до виконання подію. Нова подія може і не відбутися, як намічено. Запис про подію складається з: часової мітки події, запису стану частинки відразу після події (включно з положенням і швидкістю частинки), а також ідентифікації «партнера» частинки за даною подією, якщо такий виявляється. Партнером може бути інша частинка, або стінка посудини. Максимум відміток часу здійснених подій не може перевершити мінімуму відміток часу подій, намічених до виконання.

Наступною частинкою для перегляду вибирається частинка з найменшою позначкою часу серед подій намічених до виконання. При цьому перегляді те, що колись було новою подією, наміченою до виконання для даної частинки, оголошується подією, що відбулась, і в той же час намічається нова подія з її новою відміткою часу, новим станом і з новим партнером, якщо такий виявиться. За такого встановлення наступної нової події для частинки деякі сусідні частинки можуть перерахувати свої намічені до виконання події, беручи до уваги нову інформацію.

В міру прогресу обчислень, частоти зіткнень частинок у модельованому часі можуть зростати і зазвичай справді зростають. Проте, система успішно наближається до підсумкового стиснутого стану, якщо тільки частоти зіткнень різних частинок виявляються порівнянними між собою. (Окрім ратлерів. Останні зазнають стійко низьких частот зіткнень, і ця властивість ратлерів дозволяє їх легко виявити). Однак можливо, що деяке невелике число частинок, навіть одна єдина частинка, буде зазнавати надмірно високої частоти зіткнень, яка зростає, порівняно з іншими частинками, при наближенні модельованого часу до деякої часової позначки. Якщо таке трапляється, процес моделювання застряє на цій часовій позначці, не в змозі досягти бажаного стиску частинок.

Подібне застрягання в модельованому часі може статися і в режимі простого моделювання сипучого тіла без стиснення або розширення частинок. Така відмова в роботі алгоритму відома серед тих, хто займається моделюванням сипучих тіл, під назвою «непружний колапс», оскільки його типова причина в зіткнень. Цей вид відмови не специфічний тільки для ЛСА. Запропоновано методи уникнення непружного колапсу.

Історія створення алгоритму

ЛСА з'явився як побічний продукт спроби уточнити оцінку прискорення паралельного моделювання в порівнянні з послідовним моделюванням. Було запропоновано використовувати паралельний алгоритм Девіда Джеферсона (David Jefferson) під назвою Згортання часу (Time Warp, Тайм Ворп), щоб моделювати на паралельному комп'ютері асинхронні взаємодії суперників (fighting units) у просторі, які виникають у моделях військових зіткнень (combat models). Моделі з зіткненнями твердих частинок подібні моделям битв тим, що в них також присутні асинхронні взаємодії в просторі, але мають перевагою відсутність багатьох деталей, несуттєвих для роботи алгоритму моделювання.

Паралельним прискоренням вважалося відношення часу розрахунку за використання одного процесора паралельної машини до часу розрахунку за використання всіх процесорів, за умови застосування одного і того ж алгоритму. Борис Любачевський зауважив, що така оцінка паралельного прискорення може бути завищеною, оскільки виконання задачі на одному процесорі за допомогою паралельної програми — не обов'язково найшвидший метод обчислень, які можна організувати на цьому процесорі для розв'язування цієї задачі. ЛСА створено як спробу знайти швидший однопроцесорний метод моделювання і тим самим поліпшити якість оцінки паралельного прискорення. Згодом запропоновано і паралельний алгоритм моделювання, відмінний від алгоритму Згортання часу, який зводиться до ЛСА, якщо виконується на одному процесорі.

Примітки

  1. F. H. Stillinger and B. D. Lubachevsky, Crystalline-Amorphous Interface Packings for Disks and Spheres, J. Stat. Phys. 73, 497—514 (1993)
  2. B. D. Lubachevsky and F. H. Stillinger, Geometric properties of random disk packings, J. Statistical Physics 60 (1990), 561—583
  3. B. D. Lubachevsky, How to Simulate Billiards and Similar Systems [ 27 січня 2022 у Wayback Machine.], Journal of Computational Physics Volume 94 Issue 2, May 1991
  4. F. H. Stillinger and B. D. Lubachevsky. Patterns of Broken Symmetry in the Impurity-Perturbed Rigid Disk Crystal, J. Stat. Phys. 78, 1011—1026 (1995)
  5. Boris D. Lubachevsky and Frank H. Stillinger, Epitaxial frustration in deposited packings of rigid disks and spheres [ 4 грудня 2019 у Wayback Machine.]. Physical Review E 70:44, 41604 (2004).
  6. Boris D. Lubachevsky, Ron L. Graham, and Frank H. Stillinger, Spontaneous Patterns in Disk Packings [ 4 травня 2021 у Wayback Machine.]. Visual Mathematics, 1995.
  7. A. R. Kansal, S. Torquato, and F. H. Stillinger, Computer Generation of Dense Polydisperse Sphere Packings, J. Chem. Phys. 117, 8212-8218 (2002)
  8. A. Donev, F. H. Stillinger, P. M. Chaikin, and S. Torquato, Unusually Dense Crystal Packings of Ellipsoids, Phys. Rev. Letters 92, 255506 (2004)
  9. M. Skoge, A. Donev, F. H. Stillinger, and S. Torquato, Packing Hyperspheres in High-Dimensional Euclidean Spaces, Phys. Rev. E 74, 041127 (2006)
  10. D. C. Rapaport, The Event Scheduling Problem in Molecular Dynamic Simulation, Journal of Computational Physics Volume 34 Issue 2, 1980
  11. S. McNamara, and W. R. Young, Inelastic collapse in two dimensions, Physical Review E 50: pp. R28-R31, 1994
  12. F. Wieland, and D. Jefferson, Case studies in serial and parallel simulations, Proc. 1989 Int'l Conf. Parallel Processing, Vol.III, F. Ris, and M. Kogge, Eds., pp. 255—258.
  13. P. Hontales, B. Beckman, et al., Performnce of the colliding pucks simulation of the Time Warp operating systems, Proc. 1989 SCS Multiconference, Simulation Series, SCS, Vol. 21, No. 2, pp. 3-7.
  14. B. D. Lubachevsky, Simulating Billiards: Serially and in Parallel, Int.J. in Computer Simulation, Vol. 2 (1992), pp. 373—411.

Посилання

  • ЛСА в дії. Збірка анімацій, зроблених Олександром Доневим (Alexander Donev) [ 17 березня 2012 у Wayback Machine.]
  • Розподіл флуктуацій об'єму в упаковках частинок, отриманих за допомогою ЛСА [ 6 квітня 2017 у Wayback Machine.]
  • Використання ЛСА для генерування репрезентативних обсягів мікроструктурних порушень в упакованих сипких матеріалах [ 5 березня 2016 у Wayback Machine.]

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Algoritm stisnennya Lyubachevskogo Stilinzhera Lubachevsky Stillinger compression algorithm algoritm LS LSA protokol LS obchislyuvalna procedura zaproponovana en i Borisom Lyubachevskim Boris Dmitrievich Lubachevsky yaka imituye proces mehanichnogo stisnennya naboru tverdih chastinok Odna tisyacha kongruentnih rivnobedrenih trikutnikiv haotichno upakovani v pryamokutniku z en Shilnist pakuvannya pokrittya ploshi chastinkami stanovit 0 8776 Vnutrishnij pryamokutnik pokazuye period utvorenoyi strukturi Fenomenologiya sho modelyuyetsya Mehanichne stiskannya zazvichaj zdijsnyuyetsya stinkoyu posudini yaka mistit chastinki napriklad porshnem LSA zdatnij modelyuvati takij proces Odnak u pochatkovomu formulyuvanni LSA ne bulo tverdih stinok posudini a chastinki nibi rozpuhali zbilshuyuchis u rozmiri ale perebuvayuchi u fiksovanomu i skinchennomu virtualnomu ob yemi z en Todi yak absolyutni rozmiri chastinok zbilshuvalisya spivvidnoshennya yihnih rozmiriv zalishalosya nezminnim U zagalnomu vipadku LSA mozhe vporatisya i z zovnishnim stisnennyam i z vnutrishnim rozshirennyam chastinok sho vidbuvayutsya odnochasno i mozhlivo ale ne obov yazkovo poyednuyutsya z prisutnimi tverdimi stinkami posudini Do togo zh ci stinki mozhut buti ruhomimi V ostatochnomu stisnutomu masivi mozhut znajtisya chastinki yaki stisnutimi ne budut a navpaki budut ruhlivi v mezhah nadanih yihnimi stisnutimi chastinkami susidami i mozhlivo tverdimi stinkami posudini Poyava vilnih chastinok ne ye ni artefaktom ni napered zadanim yavishem yake LSA mav bi prodemonstruvati Voni dijsno vinikayut u stisnutomu masivi tverdih chastinok stavshi navit deyakoyu nespodivankoyu dlya tvorciv LSA de zaproponuvav dlya podibnoyi chastinki nazvu ratler rattler bryazkalce oskilki yaksho potryasti stisnutij masiv tverdih chastinok ratleri budut bryazhchati U pochatkovij fazi stiskannya koli shilnist zapovnennya chastinkami dostupnogo ob yemu nizka i koli vsi chastinki ruhlivi procesi zovnishnogo stisnennya i vnutrishnogo rozshirennya chastinok mozhna zupiniti LSA sho prodovzhuye pracyuvati pislya takoyi zupinki bude modelyuvati sipuche tilo Mozhna zmodelyuvati rizni mehanizmi tverdih zitknen taki yak idealno pruzhni chi z tilki chastkovim vidnovlennyam idealno kovzni i z tertyam Mri modelyuvanni zitknen mozhna vzyati do uvagi rizni masi chastinok Takozh mozhlivo i dekoli viyavlyayetsya korisnim rozridzhuvati vsyu konfiguraciyu chastinok zmenshuyuchi rozmiri vsih abo deyakih chastinok Inshe mozhlive zastosuvannya LSA ce zamina silovogo potencialu tverdogo zitknennya chastinok takij potencial dorivnyuye nulyu poza chastinkoyu i staye neskinchennistyu na poverhni i vseredini chastinki kuskovo stalim potencialom Takim chinom modifikovanij LSA aproksimuye modelyuvannya vzayemodiyi dzherel blizkodijnogo silovogo polya Zovnishni silovi polya taki yak gravitacijne takozh mozhna vvesti ostilki oskilki prolit chastinki mizh zitknennyami mozhna zmodelyuvati prostim odnokrokovim obchislennyam Vikoristannya LSA dlya sferichnih chastinok riznih rozmiriv i abo v kontejnerah z nezruchnimi rozmirami viyavilosya efektivnim metodom dlya otrimannya i demonstraciyi mikrostrukturnih porushen pov yazanih z defektami kristaliv i z geometrichnoyu frustraciyeyu Mozhna dodati sho pochatkovij protokol LS priznachavsya golovnim chinom dlya sfer odnogo abo riznih diametriv Najmenshe vidhilennya vid formi sferi kola na ploshini navit take yak vikoristannya elipsoyidiv abo yaksho na ploshini to elipsiv suttyevo upovilnyuye obchislennya Ale yaksho forma vsih chastinok sferichna LSA spravlyayetsya z naborami z desyatkiv i soten tisyach chastinok na zvichajnih suchasnih 2011 personalnih komp yuterah Ye tilki neznachnij dosvid vikoristannya LSA v rozmirnostyah vishih vid troh VtilennyaStan stisnutosti dosyagayetsya modelyuvannyam sipuchogo tila Sipuchist u svoyu chergu podayetsya yak poslidovnist diskretnih podij de podiyami viyavlyayutsya zitknennya mizh chastinkami a takozh zitknennya chastinok z tverdimi stinkami yaksho taki ye Idealno yakbi obchislennya provodilisya z neskinchennoyu tochnistyu dosyagnennya stanu stisnutosti vimagalo b neskinchennogo chisla obchislyuvalnih krokiv Realno obchislennya provodyatsya zi skinchennoyu tochnistyu i takozh skinchennoyu ye rozdilnist podannya dijsnih chisel u pam yati komp yutera napriklad za podvijnoyi tochnosti Realni obchislennya zupinyayutsya koli probig usih chastinok mizh zitknennyami viklyuchno z probigom ratleriv staye menshim nizh deyakij malij porig vstanovlenij yavno abo chastishe neyavno Napriklad nemaye sensu prodovzhuvati obchislennya yaksho probig stav menshim vid pohibki okruglennya LSA obchislyuvalno efektivnij u tomu sensi sho podiyi opracovuyutsya perevazhno v podijno oriyentovanomu stili a ne v realnomu chasi Ce oznachaye zokrema sho obchislennya majzhe ne vitrachayutsya na pereglyad ta pidtrimannya u poryadku pozicij i shvidkostej chastinok mizh zitknennyami Sered podibnih podijno oriyentovanih algoritmiv takozh priznachenih dlya modelyuvannya sipuchih til yak napriklad algoritm D Rapaporta D C Rapaport LSA vidilyayetsya osoblivoyu prostotoyu strukturi danih i sposobu keruvannya ciyeyu strukturoyu Dlya bud yakoyi chastinki j na bud yakij stadiyi obchislen LSA zberigaye zapis lishe pro dvi podiyi pro prorahovanu yaka vzhe vidbulasya i pro novu she tilki namichenu do vikonannya podiyu Nova podiya mozhe i ne vidbutisya yak namicheno Zapis pro podiyu skladayetsya z chasovoyi mitki podiyi zapisu stanu chastinki vidrazu pislya podiyi vklyuchno z polozhennyam i shvidkistyu chastinki a takozh identifikaciyi partnera chastinki za danoyu podiyeyu yaksho takij viyavlyayetsya Partnerom mozhe buti insha chastinka abo stinka posudini Maksimum vidmitok chasu zdijsnenih podij ne mozhe perevershiti minimumu vidmitok chasu podij namichenih do vikonannya Nastupnoyu chastinkoyu dlya pereglyadu vibirayetsya chastinka z najmenshoyu poznachkoyu chasu sered podij namichenih do vikonannya Pri comu pereglyadi te sho kolis bulo novoyu podiyeyu namichenoyu do vikonannya dlya danoyi chastinki ogoloshuyetsya podiyeyu sho vidbulas i v toj zhe chas namichayetsya nova podiya z yiyi novoyu vidmitkoyu chasu novim stanom i z novim partnerom yaksho takij viyavitsya Za takogo vstanovlennya nastupnoyi novoyi podiyi dlya chastinki deyaki susidni chastinki mozhut pererahuvati svoyi namicheni do vikonannya podiyi beruchi do uvagi novu informaciyu V miru progresu obchislen chastoti zitknen chastinok u modelovanomu chasi mozhut zrostati i zazvichaj spravdi zrostayut Prote sistema uspishno nablizhayetsya do pidsumkovogo stisnutogo stanu yaksho tilki chastoti zitknen riznih chastinok viyavlyayutsya porivnyannimi mizh soboyu Okrim ratleriv Ostanni zaznayut stijko nizkih chastot zitknen i cya vlastivist ratleriv dozvolyaye yih legko viyaviti Odnak mozhlivo sho deyake nevelike chislo chastinok navit odna yedina chastinka bude zaznavati nadmirno visokoyi chastoti zitknen yaka zrostaye porivnyano z inshimi chastinkami pri nablizhenni modelovanogo chasu do deyakoyi chasovoyi poznachki Yaksho take traplyayetsya proces modelyuvannya zastryaye na cij chasovij poznachci ne v zmozi dosyagti bazhanogo stisku chastinok Podibne zastryagannya v modelovanomu chasi mozhe statisya i v rezhimi prostogo modelyuvannya sipuchogo tila bez stisnennya abo rozshirennya chastinok Taka vidmova v roboti algoritmu vidoma sered tih hto zajmayetsya modelyuvannyam sipuchih til pid nazvoyu nepruzhnij kolaps oskilki jogo tipova prichina v zitknen Cej vid vidmovi ne specifichnij tilki dlya LSA Zaproponovano metodi uniknennya nepruzhnogo kolapsu Istoriya stvorennya algoritmuLSA z yavivsya yak pobichnij produkt sprobi utochniti ocinku priskorennya paralelnogo modelyuvannya v porivnyanni z poslidovnim modelyuvannyam Bulo zaproponovano vikoristovuvati paralelnij algoritm Devida Dzhefersona David Jefferson pid nazvoyu Zgortannya chasu Time Warp Tajm Vorp shob modelyuvati na paralelnomu komp yuteri asinhronni vzayemodiyi supernikiv fighting units u prostori yaki vinikayut u modelyah vijskovih zitknen combat models Modeli z zitknennyami tverdih chastinok podibni modelyam bitv tim sho v nih takozh prisutni asinhronni vzayemodiyi v prostori ale mayut perevagoyu vidsutnist bagatoh detalej nesuttyevih dlya roboti algoritmu modelyuvannya Paralelnim priskorennyam vvazhalosya vidnoshennya chasu rozrahunku za vikoristannya odnogo procesora paralelnoyi mashini do chasu rozrahunku za vikoristannya vsih procesoriv za umovi zastosuvannya odnogo i togo zh algoritmu Boris Lyubachevskij zauvazhiv sho taka ocinka paralelnogo priskorennya mozhe buti zavishenoyu oskilki vikonannya zadachi na odnomu procesori za dopomogoyu paralelnoyi programi ne obov yazkovo najshvidshij metod obchislen yaki mozhna organizuvati na comu procesori dlya rozv yazuvannya ciyeyi zadachi LSA stvoreno yak sprobu znajti shvidshij odnoprocesornij metod modelyuvannya i tim samim polipshiti yakist ocinki paralelnogo priskorennya Zgodom zaproponovano i paralelnij algoritm modelyuvannya vidminnij vid algoritmu Zgortannya chasu yakij zvoditsya do LSA yaksho vikonuyetsya na odnomu procesori PrimitkiF H Stillinger and B D Lubachevsky Crystalline Amorphous Interface Packings for Disks and Spheres J Stat Phys 73 497 514 1993 B D Lubachevsky and F H Stillinger Geometric properties of random disk packings J Statistical Physics 60 1990 561 583 B D Lubachevsky How to Simulate Billiards and Similar Systems 27 sichnya 2022 u Wayback Machine Journal of Computational Physics Volume 94 Issue 2 May 1991 F H Stillinger and B D Lubachevsky Patterns of Broken Symmetry in the Impurity Perturbed Rigid Disk Crystal J Stat Phys 78 1011 1026 1995 Boris D Lubachevsky and Frank H Stillinger Epitaxial frustration in deposited packings of rigid disks and spheres 4 grudnya 2019 u Wayback Machine Physical Review E 70 44 41604 2004 Boris D Lubachevsky Ron L Graham and Frank H Stillinger Spontaneous Patterns in Disk Packings 4 travnya 2021 u Wayback Machine Visual Mathematics 1995 A R Kansal S Torquato and F H Stillinger Computer Generation of Dense Polydisperse Sphere Packings J Chem Phys 117 8212 8218 2002 A Donev F H Stillinger P M Chaikin and S Torquato Unusually Dense Crystal Packings of Ellipsoids Phys Rev Letters 92 255506 2004 M Skoge A Donev F H Stillinger and S Torquato Packing Hyperspheres in High Dimensional Euclidean Spaces Phys Rev E 74 041127 2006 D C Rapaport The Event Scheduling Problem in Molecular Dynamic Simulation Journal of Computational Physics Volume 34 Issue 2 1980 S McNamara and W R Young Inelastic collapse in two dimensions Physical Review E 50 pp R28 R31 1994 F Wieland and D Jefferson Case studies in serial and parallel simulations Proc 1989 Int l Conf Parallel Processing Vol III F Ris and M Kogge Eds pp 255 258 P Hontales B Beckman et al Performnce of the colliding pucks simulation of the Time Warp operating systems Proc 1989 SCS Multiconference Simulation Series SCS Vol 21 No 2 pp 3 7 B D Lubachevsky Simulating Billiards Serially and in Parallel Int J in Computer Simulation Vol 2 1992 pp 373 411 PosilannyaLSA v diyi Zbirka animacij zroblenih Oleksandrom Donevim Alexander Donev 17 bereznya 2012 u Wayback Machine Rozpodil fluktuacij ob yemu v upakovkah chastinok otrimanih za dopomogoyu LSA 6 kvitnya 2017 u Wayback Machine Vikoristannya LSA dlya generuvannya reprezentativnih obsyagiv mikrostrukturnih porushen v upakovanih sipkih materialah 5 bereznya 2016 u Wayback Machine

Дата публікації:
Топ