Теорема Крамера — Вольда

Теоре́ма Кра́мера — Во́льда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика ^[en] і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми

Нехай

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\;}$

і

${\displaystyle \;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$ — випадкові вектори розмірності  k. Тоді ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$ (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

для кожного ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$, тобто довільна фіксована лінійна комбінація ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора ${\displaystyle {\overline {X}}}$.

Зокрема ${\displaystyle X{\overset {\mathcal {D}}{=}}Y}$ (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}\,{\overset {\mathcal {D}}{=}}\,\sum _{i=1}^{k}t_{i}Y_{i},\;\forall (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}.}$

Доведення

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}\,\exp({i\,t^{T}\!X})\,{\big ]}.}$

Згідно з властивостями характеристичних функцій ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X\iff \varphi _{X_{n}}(\cdot )\to \varphi _{X}(\cdot ),}$ де збіжність функцій є поточковою. Але ${\displaystyle \varphi _{X}(st)=\varphi _{t^{'}X}(s)}$ і тому:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X&\iff \varphi _{X_{n}}(st)\to \varphi _{X}(st),\;\forall s\in \mathbb {R} ,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}\iff \\&\iff \varphi _{t^{'}X_{n}}(t)\to \varphi _{t^{'}X}(st),\;\forall s\in \mathbb {R} ,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}\iff \\&\iff \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}\;\forall t\in \mathbb {R} ^{k}.\end{aligned}}}$

Джерела

• Martin Bilodeau, David Brenner (1999), Theory of Multivariate Statistics, Springer,
• Durrett, R. Probability. Theory and examples. (2010)

Посилання

• Project Euclid: «When is a probability measure determined by infinitely many projections?»