У арифметиці та алгебрі сьомий степінь числа n є результатом множення семи екземплярів n Так n7 n n n n n n n Сьомий сте

У арифметиці та алгебрі сьомий степінь числа n є результатом множення семи екземплярів n. Так:

n 7 = n \times n \times n \times n \times n \times n \times n

.

Сьомий степінь також утворюється шляхом множення числа на його шостий степінь, квадрата числа на його п'ятий степінь або куба числа на його четвертий степінь.

Послідовність сьомих степенів цілих чисел:

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, … послідовність A001015 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

У ^[en] Роберта Рекорда сьомий степінь числа називався «другим сюрсолідом».

Властивості

^[en] вивчав узагальнення проблеми Воринга для сьомих степенів, показавши, що кожне невід'ємне ціле число можна представити як суму щонайбільше 258 невід'ємних сьомих степенів (1⁷ це 1, а 2⁷ це 128). Усі натуральні числа, окрім скінченної кількості, можна виразити простіше як суму щонайбільше 46 сьомих степенів. Якщо дозволені степені від'ємних цілих чисел, потрібно лише 12 степенів.

Найменше число, яке можна представити двома різними способами у вигляді суми чотирьох сьомих степенів додатних, цілих це 2056364173794800.

Найменший сьомий степень, який можна представити у вигляді суми восьми різних сьомих степенів:

102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.

Відомі дів приклади сьомого степеня, що виражається як сума семи сьомих степенів

568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}

(M. Dodrill, 1999);

і

626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}

(Maurice Blondot, 11/14/2000);

будь-який приклад з меншою кількістю доданків у сумі був би від контрприкладом до гіпотези Ейлера, яка, як відомо, хибна для степенів 4 і 5.

Див. також

Примітки

Womack, D. (2015), Beyond tetration operations: their past, present and future, Mathematics in School, 44 (1): 23—26{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()
(1934), A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers, American Mathematical Monthly, 41 (9): 547—555, doi:10.2307/2301430, JSTOR 2301430, MR 1523212
Kumchev, Angel V. (2005), On the Waring-Goldbach problem for seventh powers, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (10): 2927—2937, doi:10.1090/S0002-9939-05-07908-6, MR 2159771
Choudhry, Ajai (2000), On sums of seventh powers, Journal of Number Theory, 81 (2): 266—269, doi:10.1006/jnth.1999.2465, MR 1752254
Ekl, Randy L. (1996), Equal sums of four seventh powers, Mathematics of Computation, 65 (216): 1755—1756, Bibcode:1996MaCom..65.1755E, doi:10.1090/S0025-5718-96-00768-5, MR 1361807
(1989), Game, set, and math: Enigmas and conundrums, Basil Blackwell, Oxford, с. 123, ISBN , MR 1253983
Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (14 лютого 2001). Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions. Процитовано 17 липня 2017.

[womack-1] Womack, D. (2015), Beyond tetration operations: their past, present and future, Mathematics in School, 44 (1): 23—26{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()

[dickson-2] (1934), A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers, American Mathematical Monthly, 41 (9): 547—555, doi:10.2307/2301430, JSTOR 2301430, MR 1523212

[kumchev-3] Kumchev, Angel V. (2005), On the Waring-Goldbach problem for seventh powers, Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (10): 2927—2937, doi:10.1090/S0002-9939-05-07908-6, MR 2159771

[choudhry-4] Choudhry, Ajai (2000), On sums of seventh powers, Journal of Number Theory, 81 (2): 266—269, doi:10.1006/jnth.1999.2465, MR 1752254

[ekl-5] Ekl, Randy L. (1996), Equal sums of four seventh powers, Mathematics of Computation, 65 (216): 1755—1756, Bibcode:1996MaCom..65.1755E, doi:10.1090/S0025-5718-96-00768-5, MR 1361807

[stewart-6] (1989), Game, set, and math: Enigmas and conundrums, Basil Blackwell, Oxford, с. 123, ISBN , MR 1253983

[meyrignac-7] Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (14 лютого 2001). Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions. Процитовано 17 липня 2017.