Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
| Було запропоновано цю статтю або розділ до Інваріант (математика), але, можливо, це варто додатково . Пропозиція з лютого 2020. |
Інваріанти (від латів.(латинський) invarians, родовий відмінок invariantis — що не змінюється) — числа, вирази алгебри тощо, пов'язані з яким-небудь математичним об'єктом і такі, що залишаються незмінними при певних перетвореннях цього об'єкту або системи відліку, в якій описується об'єкт.
Щоб охарактеризувати яку-небудь геометричну фігуру і її положення за допомогою чисел, зазвичай доводиться вводити деяку допоміжну систему відліку або систему координат. Отримані в такій системі числа x1,x2,…,xn характеризують не лише геометричну фігуру, що вивчається, але і її відношення до системи відліку, і при зміні цієї системи фігурі відповідатимуть інші числа x ¢ 1, х ¢1,…, х ¢n. Тому якщо значення якого-небудь вираження f (x1, x2 …, xn) характерний для фігури самої по собі, то воно не повинне залежати від системи відліку, тобто повинне виконуватися співвідношення:
f (x1,x,…,xn) = f (x¢1,x¢2,…, x¢n) (1)
Усі вирази, що задовольняють співвідношенню (1), називаються інваріантами. Наприклад, положення відрізання M1 M2 на плоскості визначається в прямокутній системі координат двома парами чисел x1,b1 і x2,b2 — координатами його кінців M1 і M2.При перетворенні координатної системи (шляхом зсуву її початку і повороту осей) точки M1 і M2 отримують інші координати x¢1, b¢1 і x¢2, b¢2, проте (x1-x2)2 + (b1-b2)2 = (x1-x¢2)2 + (b¢1- b¢2)2. Тому вираження (x1-x2)2 + (b1-b2)2 є І. перетворення прямокутних координат. Геометричний сенс цього І. ясний: це квадрат довжини відрізання M1M2.
Крива 2-го порядку в прямокутній системі координат задається рівнянням 2-ї міри:
ах2 + 2bxy + су2 + 2dx + 2ey + f = 0, (2)
Коефіцієнти якого можна розглядати як числа, що визначають криву. При перетворенні прямокутних координат ці коефіцієнти змінюються, але вираження зберігає своє значення і, отже, служить І. кривій (2). При розгляді кривих і поверхонь вищих порядків виникає аналогічне загальніше завдання.
Поняття I
Поняття І. уживалося ще німецьким математиком О. Гессе (1844), але систематичний розвиток теорія І. отримала в англійського математика Дж. Сильвестра (1851—1852), що запропонував і термін «І.».
англ. James Joseph Sylvester
Протягом 2-ї половини XIX ст. теорія І. була однією з математичних теорій, що найбільш розроблялися. У процесі розвитку цієї класичної теорії І.головні зусилля дослідників стали поступово зосереджуватися довкола вирішення декількох «основних» проблем, найбільш відома з яких формулювалася таким чином.
Розглядаються І. системи форм, що є цілими раціональними функціями від коефіцієнтів цих форм. Потрібно довести, що для I. кожної кінцевої системи форм існує кінцевий базис, тобто кінцева система цілих раціональних І., через яких кожен інший цілий раціональний І. виражається у вигляді цілої раціональної функції. Це доказ для проєктних І. було дано в кінці XIX ст. німецьким математиком Д. Гільбертом.
Вельми плідний підхід до поняття І. виходить, якщо системи чисел
x1, x2,…, xn і x ¢ 11,
х ¢2,…, х ¢n
розглядати не як координати однієї й тієї ж точки відносно різних координатних систем, а як координати різних крапок в одній і тій же системі координат, отриманих одна з іншої рухом. Рухи простору утворюють групу. І. відносно змін систем координат є також І. відносно групи рухів. Група, одне з основних понять сучасної математики.
Теорія Р. вивчає в найзагальнішій формі властивості дій, що найчастіше зустрічаються в математиці і її застосуваннях (приклади таких дій — множення чисел, складання векторів, послідовне виконання перетворень і т. ін.).
Спільність теорії Р., а водночас і широта її застосувань забезпечуються тим, що вона вивчає властивості дій в їх чистому вигляді, відволікаючись як від природи елементів, над якими виконується дія, так і від природи самої дії. Водночас теорія Р. вивчає не зовсім довільні дії, а лише ті, які володіють рядом основних властивостей, що перераховуються у визначенні Р. Звідси шляхом безпосереднього узагальнення виходить поняття І. будь-якої групи перетворень. Теорія таких І. виявляється вельми тісно пов'язаною з теорією груп і особливо з теорією представлень груп.
Поняття І. групи
Поняття І. групи перетворень лежить в основі відомої систематизації геометричних дисциплін по групах перетворень, І. яких вивчаються в цих дисциплінах.
Наприклад, І. групи ортогональних перетворень вивчаються у звичайній евклідової геометрії, І. афінних перетворень — в афінной, І. проєктних — в проєктній. Вельми загальну групу перетворень складають всі взаємно однозначні й безперервні перетворення. Вивчення І. цих так званих топологічних перетворень складає предмет топології. У диференціальній геометрії основне значення мають диференціальні І., розвиток теорії яких привів до створення тензорного числення.
Тензорне числення
Тензорне числення, математична теорія, що вивчає величини особливого роду, — тензори, їх властивості й правила дій над ними. Т. і. є розвитком і узагальненням векторного числення і теорії матриць. Т. і. широко застосовується в диференціальній геометрії, теорії ріманових просторів, теорії відносності, механіці, електродинаміці й інших галузях науки.
Векторне числення, математична дисципліна, в якій вивчають властивості операцій над векторами евклідова простори. При цьому поняття вектора є математичною абстракцією величин, що характеризуються не лише чисельним значенням, але і спрямованістю (наприклад, сила, прискорення, швидкість).
Інваріантність
У XX ст. глибокий вплив на розвиток теорії І., зокрема на розвиток тензорного числення, надала теорія відносності, в якій інваріантність фізичних законів відносно групи рухів стає одним з керівних принципів. Інваріантність, незмінність, незалежність від фізичних умов. Частіше розглядається І. у математичному сенсі — незмінність якої-небудь величини відносно деяких перетворень (див. Інваріанти). Наприклад, якщо розглядати рух матеріальної крапки у двох системах координат, повернених одна відносно іншої на деякий кут, то проєкції швидкості руху будуть змінюватися при переході від однієї системи відліку до іншої, але квадрат швидкості, а отже, і кінетична енергія залишаться незмінними, тобто кінетична енергія інваріантна відносно просторових обертань системи відліку. Важливим випадком перетворень є перетворення координат і часу при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої (Лоренца перетворення). Величини, що не змінюються при таких перетвореннях, називаються лоренц-інваріантними.
Приклад інваріанта
Приклад такого інваріанта — так званий чотиривимірний інтервал, квадрат якого рівний s212 = (x1— x2)2+ (b1— b2)2+ (z1— z2)2— 32(t1— t2)2, де x1, b1, z2 і x2, b2, z2 — координати двох крапок простори, в яких відбуваються деякі події, а t1 і t2 — моменти часу, в які ці події здійснюються, з — швидкість світла.
Інший приклад
Інший приклад: напруженості електричного Е і магнітного Н полів змінюються при перетвореннях Лоренца, але E2— H2 і (EH) є лоренц-інваріантними. В загальній теорії відносності (теорії тяжіння) розглядаються величини, інваріантні відносно перетворень до довільних криволінійних координат, і так далі. Важливість поняття І. обумовлена тим, що з його допомогою можна виді величини, не залежні від вибору системи відліку, тобто характеризуючі внутрішні властивості досліджуваного об'єкта. І. тісно пов'язана з тими, що мають велике значення збереження законами. Рівноправність всіх точок простору (однорідність простору), що математично виражається у вигляді вимоги І. деякій функції, що визначає рівняння руху (так звана лагранжіана) відносно перетворень перенесення початку координат, приводить до закону збереження імпульсу; рівноправність усіх напрямів у просторі (ізотропність простору) — до закону збереження моменту кількості руху; рівноправ'я всіх моментів часу — до закону збереження енергії й так далі (Нетер теорема).
Література
- Погорелов А. Аналітична геометрія. — М. : 3 видавництва, 1968.
- Широков П. А. Тензорний аналіз, ч. 1. — М. : код.—Л, 1934.
- Гуревіч Р.Би. Основи теорії інваріантів алгебри. — М. : 3 видавництва, 1948.
- Вейль Р. А Класичні групи, їх інваріанти і вистави (пер.з англ.),. — М. : 3код.—Л, 1947.
| Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. (лютий 2020) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bulo zaproponovano priyednati cyu stattyu abo rozdil do Invariant matematika ale mozhlivo ce varto dodatkovo Propoziciya z lyutogo 2020 Invarianti vid lativ latinskij invarians rodovij vidminok invariantis sho ne zminyuyetsya chisla virazi algebri tosho pov yazani z yakim nebud matematichnim ob yektom i taki sho zalishayutsya nezminnimi pri pevnih peretvorennyah cogo ob yektu abo sistemi vidliku v yakij opisuyetsya ob yekt Shob oharakterizuvati yaku nebud geometrichnu figuru i yiyi polozhennya za dopomogoyu chisel zazvichaj dovoditsya vvoditi deyaku dopomizhnu sistemu vidliku abo sistemu koordinat Otrimani v takij sistemi chisla x1 x2 xn harakterizuyut ne lishe geometrichnu figuru sho vivchayetsya ale i yiyi vidnoshennya do sistemi vidliku i pri zmini ciyeyi sistemi figuri vidpovidatimut inshi chisla x 1 h 1 h n Tomu yaksho znachennya yakogo nebud virazhennya f x1 x2 xn harakternij dlya figuri samoyi po sobi to vono ne povinne zalezhati vid sistemi vidliku tobto povinne vikonuvatisya spivvidnoshennya f x1 x xn f x 1 x 2 x n 1 Usi virazi sho zadovolnyayut spivvidnoshennyu 1 nazivayutsya invariantami Napriklad polozhennya vidrizannya M1 M2 na ploskosti viznachayetsya v pryamokutnij sistemi koordinat dvoma parami chisel x1 b1 i x2 b2 koordinatami jogo kinciv M1 i M2 Pri peretvorenni koordinatnoyi sistemi shlyahom zsuvu yiyi pochatku i povorotu osej tochki M1 i M2 otrimuyut inshi koordinati x 1 b 1 i x 2 b 2 prote x1 x2 2 b1 b2 2 x1 x 2 2 b 1 b 2 2 Tomu virazhennya x1 x2 2 b1 b2 2 ye I peretvorennya pryamokutnih koordinat Geometrichnij sens cogo I yasnij ce kvadrat dovzhini vidrizannya M1M2 Kriva 2 go poryadku v pryamokutnij sistemi koordinat zadayetsya rivnyannyam 2 yi miri ah2 2bxy su2 2dx 2ey f 0 2 Koeficiyenti yakogo mozhna rozglyadati yak chisla sho viznachayut krivu Pri peretvorenni pryamokutnih koordinat ci koeficiyenti zminyuyutsya ale virazhennya zberigaye svoye znachennya i otzhe sluzhit I krivij 2 Pri rozglyadi krivih i poverhon vishih poryadkiv vinikaye analogichne zagalnishe zavdannya Ponyattya IPonyattya I uzhivalosya she nimeckim matematikom O Gesse 1844 ale sistematichnij rozvitok teoriya I otrimala v anglijskogo matematika Dzh Silvestra 1851 1852 sho zaproponuvav i termin I angl matematik Dzhejms Dzhozef Silvestr angl James Joseph Sylvester Protyagom 2 yi polovini XIX st teoriya I bula odniyeyu z matematichnih teorij sho najbilsh rozroblyalisya U procesi rozvitku ciyeyi klasichnoyi teoriyi I golovni zusillya doslidnikiv stali postupovo zoseredzhuvatisya dovkola virishennya dekilkoh osnovnih problem najbilsh vidoma z yakih formulyuvalasya takim chinom Rozglyadayutsya I sistemi form sho ye cilimi racionalnimi funkciyami vid koeficiyentiv cih form Potribno dovesti sho dlya I kozhnoyi kincevoyi sistemi form isnuye kincevij bazis tobto kinceva sistema cilih racionalnih I cherez yakih kozhen inshij cilij racionalnij I virazhayetsya u viglyadi ciloyi racionalnoyi funkciyi Ce dokaz dlya proyektnih I bulo dano v kinci XIX st nimeckim matematikom D Gilbertom nim matematik David Gilbert angl David Hilbert Velmi plidnij pidhid do ponyattya I vihodit yaksho sistemi chisel x1 x2 xn i x 11 h 2 h n rozglyadati ne yak koordinati odniyeyi j tiyeyi zh tochki vidnosno riznih koordinatnih sistem a yak koordinati riznih krapok v odnij i tij zhe sistemi koordinat otrimanih odna z inshoyi ruhom Ruhi prostoru utvoryuyut grupu I vidnosno zmin sistem koordinat ye takozh I vidnosno grupi ruhiv Grupa odne z osnovnih ponyat suchasnoyi matematiki Teoriya R vivchaye v najzagalnishij formi vlastivosti dij sho najchastishe zustrichayutsya v matematici i yiyi zastosuvannyah prikladi takih dij mnozhennya chisel skladannya vektoriv poslidovne vikonannya peretvoren i t in Spilnist teoriyi R a vodnochas i shirota yiyi zastosuvan zabezpechuyutsya tim sho vona vivchaye vlastivosti dij v yih chistomu viglyadi vidvolikayuchis yak vid prirodi elementiv nad yakimi vikonuyetsya diya tak i vid prirodi samoyi diyi Vodnochas teoriya R vivchaye ne zovsim dovilni diyi a lishe ti yaki volodiyut ryadom osnovnih vlastivostej sho pererahovuyutsya u viznachenni R Zvidsi shlyahom bezposerednogo uzagalnennya vihodit ponyattya I bud yakoyi grupi peretvoren Teoriya takih I viyavlyayetsya velmi tisno pov yazanoyu z teoriyeyu grup i osoblivo z teoriyeyu predstavlen grup Ponyattya I grupiPonyattya I grupi peretvoren lezhit v osnovi vidomoyi sistematizaciyi geometrichnih disciplin po grupah peretvoren I yakih vivchayutsya v cih disciplinah Napriklad I grupi ortogonalnih peretvoren vivchayutsya u zvichajnij evklidovoyi geometriyi I afinnih peretvoren v afinnoj I proyektnih v proyektnij Velmi zagalnu grupu peretvoren skladayut vsi vzayemno odnoznachni j bezperervni peretvorennya Vivchennya I cih tak zvanih topologichnih peretvoren skladaye predmet topologiyi U diferencialnij geometriyi osnovne znachennya mayut diferencialni I rozvitok teoriyi yakih priviv do stvorennya tenzornogo chislennya Tenzorne chislennyaTenzorne chislennya matematichna teoriya sho vivchaye velichini osoblivogo rodu tenzori yih vlastivosti j pravila dij nad nimi T i ye rozvitkom i uzagalnennyam vektornogo chislennya i teoriyi matric T i shiroko zastosovuyetsya v diferencialnij geometriyi teoriyi rimanovih prostoriv teoriyi vidnosnosti mehanici elektrodinamici j inshih galuzyah nauki Vektorne chislennya matematichna disciplina v yakij vivchayut vlastivosti operacij nad vektorami evklidova prostori Pri comu ponyattya vektora ye matematichnoyu abstrakciyeyu velichin sho harakterizuyutsya ne lishe chiselnim znachennyam ale i spryamovanistyu napriklad sila priskorennya shvidkist InvariantnistU XX st glibokij vpliv na rozvitok teoriyi I zokrema na rozvitok tenzornogo chislennya nadala teoriya vidnosnosti v yakij invariantnist fizichnih zakoniv vidnosno grupi ruhiv staye odnim z kerivnih principiv Invariantnist nezminnist nezalezhnist vid fizichnih umov Chastishe rozglyadayetsya I u matematichnomu sensi nezminnist yakoyi nebud velichini vidnosno deyakih peretvoren div Invarianti Napriklad yaksho rozglyadati ruh materialnoyi krapki u dvoh sistemah koordinat povernenih odna vidnosno inshoyi na deyakij kut to proyekciyi shvidkosti ruhu budut zminyuvatisya pri perehodi vid odniyeyi sistemi vidliku do inshoyi ale kvadrat shvidkosti a otzhe i kinetichna energiya zalishatsya nezminnimi tobto kinetichna energiya invariantna vidnosno prostorovih obertan sistemi vidliku Vazhlivim vipadkom peretvoren ye peretvorennya koordinat i chasu pri perehodi vid odniyeyi inercialnoyi sistemi vidliku do inshoyi Lorenca peretvorennya Velichini sho ne zminyuyutsya pri takih peretvorennyah nazivayutsya lorenc invariantnimi Priklad invariantaPriklad takogo invarianta tak zvanij chotirivimirnij interval kvadrat yakogo rivnij s212 x1 x2 2 b1 b2 2 z1 z2 2 32 t1 t2 2 de x1 b1 z2 i x2 b2 z2 koordinati dvoh krapok prostori v yakih vidbuvayutsya deyaki podiyi a t1 i t2 momenti chasu v yaki ci podiyi zdijsnyuyutsya z shvidkist svitla Inshij prikladInshij priklad napruzhenosti elektrichnogo E i magnitnogo N poliv zminyuyutsya pri peretvorennyah Lorenca ale E2 H2 i EH ye lorenc invariantnimi V zagalnij teoriyi vidnosnosti teoriyi tyazhinnya rozglyadayutsya velichini invariantni vidnosno peretvoren do dovilnih krivolinijnih koordinat i tak dali Vazhlivist ponyattya I obumovlena tim sho z jogo dopomogoyu mozhna vidi velichini ne zalezhni vid viboru sistemi vidliku tobto harakterizuyuchi vnutrishni vlastivosti doslidzhuvanogo ob yekta I tisno pov yazana z timi sho mayut velike znachennya zberezhennya zakonami Rivnopravnist vsih tochok prostoru odnoridnist prostoru sho matematichno virazhayetsya u viglyadi vimogi I deyakij funkciyi sho viznachaye rivnyannya ruhu tak zvana lagranzhiana vidnosno peretvoren perenesennya pochatku koordinat privodit do zakonu zberezhennya impulsu rivnopravnist usih napryamiv u prostori izotropnist prostoru do zakonu zberezhennya momentu kilkosti ruhu rivnoprav ya vsih momentiv chasu do zakonu zberezhennya energiyi j tak dali Neter teorema LiteraturaPogorelov A Analitichna geometriya M 3 vidavnictva 1968 Shirokov P A Tenzornij analiz ch 1 M kod L 1934 Gurevich R Bi Osnovi teoriyi invariantiv algebri M 3 vidavnictva 1948 Vejl R A Klasichni grupi yih invarianti i vistavi per z angl M 3kod L 1947 Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami lyutij 2020