Символ Кронекера — Якобі

В теорії чисел, символ Кронекера — Якобі ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ чи (a|n), є узагальненням символу Якобі для всіх цілих чисел n.

Визначення

Нехай n — ненульове ціле число, розклад якого на прості множники має вигляд

${\displaystyle u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

де u рівне 1 чи −1 і p_i є простими числами. Нехай a — деяке ціле число. Символ Кронекера (a|n) визначається

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Для непарних ${\displaystyle p_{i}}$, число (a|p_i) рівне символу Лежандра. (a|2) визначається як

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {2}}\\1&a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

(a|u) дорівнює 1 коли u = 1. Коли u = −1, визначення має вигляд

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&a<0,\\1&a\geq 0.\end{cases}}}$

Остаточно

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&a=\pm 1,\\0&a\neq \pm 1.\end{cases}}}$

Що визначає значення символу для всіх цілих чисел n.

Властивості

• ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)=0}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle (a,b)\neq 1}$ (a і b не є взаємно простими)

• Мультиплікативність: ${\displaystyle \left({\frac {ab}{c}}\right)=\left({\frac {a}{c}}\right)\left({\frac {b}{c}}\right)}$

• • Зокрема, ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}b}{c}}\right)=\left({\frac {b}{c}}\right)}$

• Періодичність по змінній a: якщо ${\displaystyle b>0}$, то

• • при ${\displaystyle b\not \equiv 2\mod {4}}$ період рівний b, тобто ${\displaystyle \left({\frac {a+b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}$

• • при ${\displaystyle b\equiv 2\mod {4}}$ період рівний 4b, тобто ${\displaystyle \left({\frac {a+4b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}$

• Періодичність по змінній b: якщо ${\displaystyle a\neq 0}$, то

• • при ${\displaystyle a\equiv 0;1\mod {4}}$ період рівний |a|, тобто ${\displaystyle \left({\frac {a}{b+\left|a\right|}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}$

• • при ${\displaystyle a\equiv 2;3\mod {4}}$ період рівний 4|a|, тобто ${\displaystyle \left({\frac {a}{b+4\left|a\right|}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}$

Див. також

• Символ Лежандра
• Символ Якобі

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва : Наука, 1972.(рос.)

Посилання

• Kronecker symbol на PlanetMath.(англ.)