Функції Уолша це сімейство функцій, які утворюють ортогональну систему, що приймають значення тільки 1 та -1 на всій області визначення.
В математиці, більш конкретно в гармонійному аналізі, функції Уолша утворюють ортонормований базис, який може бути викоритсаний для подання будь-якої дискретної функції, так само, як тригонометричні функції можуть бути використані для подання будь-якої неперервної функції в аналізі Фур'є. Таким чином, їх можна розглядати як дискретний, цифровий аналог безперервної, аналогової системи тригонометричних функцій на одиничному інтервалі.
Система функцій Уолша відома як система Уолша. Це розширення системи ортогональних функцій Радемахера.
В принципі, функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але частіше їх визначають як дискретні послідовності з елементів Група з елементів утворює матрицю Адамара.
Функції Уолша набули широкого поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодове розділення каналів (CDMA), наприклад, в таких стандартах стільникового зв'язку, як IS-95, CDMA2000 або UMTS.
Історично склалося, що були використані різні нумерації функцій Уолша. Жодна з них не має особливих плюсів над іншою. Далі всі викладки будуть приведені використовуючи нумерацію Уолша-Пелі.
Визначення
Нехай функція Уолша визначена на інтервалі . За межами цього інтервалу функція періодично повторюється. Введемо безрозмірний час . Тоді функція Уолша під номером позначається як . Нумерація функцій залежить від методу упорядкування функцій. Існує впорядкування по Уолшу — в цьому випадку функції позначаються так, як описано вище. Також поширені упорядкування по Пелі і по Адамара .
Щодо моменту функції Уолша можна розділити на парні і непарні. Вони позначаються як та відповідно. Ці функції аналогічні тригонометричним синусам і косинусам. Зв'язок між цими функціями виражається наступним чином:
Формування
Існує кілька способів формування. Розглянемо один з них, найбільш наочних: Матриця Адамара може бути сформована рекурсивним методом за допомогою побудови блокових матриць за такою загальною формулою:
Так може бути сформована матриця Адамара довжини :
Кожен рядок матриці Адамара і є функцією Уолша.
В даному випадку функції впорядковані по Адамару. Номер функції по Уолшу обчислюється з номера функції по Адамара шляхом перестановки біт в двійковій запису номера в зворотному порядку з подальшим перетворенням результату з коду Грея:
Приклад:
Номер по Адамару | Двійкова форма | Перестановка біт | Перетворення з коду Грея | Номер по Уолшу |
---|---|---|---|---|
0 | 00 | 00 | 00 | 0 |
1 | 01 | 10 | 11 | 3 |
2 | 10 | 01 | 01 | 1 |
3 | 11 | 11 | 10 | 2 |
У підсумку виходить матриця Уолша, в якій функції впорядковані по Уолшу:
Властивості
1. Ортогональність
Скалярний добуток двох різних функцій Уолша дорівнює нулю:
Приклад:
Припустимо, що тоді,
2. Мультиплікативність
Добуток двох функцій Уолша дає функцію Уолша.
де — додавання по модулю 2 номерів у двійковій системі.
Приклад:
Припустимо, що тоді,
В результаті множення отримаємо:
Порівняння функцій Уолша і тригонометричних функцій
Функції Уолша і тригонометричні функції це системи, які утворюють повний, ортонормований набір функцій, ортогональний базис в Гільбертовому просторі інтегрованих з квадратом функцій на одиничному інтервалі.
Обидві системи допускають природне продовження по періодичності з одиничного інтервалу дійсної прямої . Крім того, як аналіз Фур'є на одиничному інтервалі (ряд Фур'є) і на дійсній прямій (перетворення Фур'є) мають свої цифрові аналоги, визначеної за допомогою системи Уолша, ряд Уолша аналогічний ряду Фур'є, і перетворення Адамара аналогічне перетворенню Фур'є
Перетворення Уолша — Адамара
Є окремим випадком узагальненого перетворення Фур'є, в якому базисом виступає система функцій Уолша.
Узагальнений ряд Фур'є представляється формулою:
де — це одна з базисних функцій, - коефіцієнт.
Розклад сигналу по функціям Уолша має вигляд:
У дискретній формі формула запишеться наступним чином:
визначити коефіцієнт можна, здійснивши скалярний добуток розкладуваного сигналу на відповідну базисну функцію Уолша:
Слід враховувати періодичний характер функцій Уолша.
Існує також швидке перетворення Уолша. Воно є в значній мірі більш ефективним, ніж перетворення Уолша — Адамара. Крім того, для окремого випадку з двома змінними функції Уолша узагальнені як поверхні . Також існують вісім аналогічних функцій Уолша базисів ортогональних бінарних функцій , що відрізняються нерегулярної структурою, які також узагальнені на випадок функцій двох змінних. Для кожного з восьми базисів доведено уявлення «східчастих» функцій у вигляді кінцевої суми бінарних функцій, що зважуються з відповідними коефіцієнтами.
Використання
Застосування функцій Уолша можна знайти всюди, де використовуються знакові представлення, зокрема в розпізнаванні мови, обробці медичних та біологічних зображень та у цифровій голографії.
Наприклад, швидкі перетворення Уолша-Адамара (FWHT) можуть бути використані при аналізі цифрових методів квазі-Монте-Карло. В радіоастрономії, функції Уолша можуть допомогти зменшити вплив електричних перехресних перешкод міжантенних сигналів. Вони також використовуються в пасивних РК-панелях, як X і Y сигнали двійкового керування, де автокореляції між X і Y можуть бути зроблені мінімальними для вимкнених пікселів.
Див. також
Примітки
- Walsh, Joseph (1923). "A closed set of normal orthogonal functions" (Англійська) .
- Fine, N.J (1949). "On the Walsh functions" (Англійська) .
- Баскаков С. И (2005). "Радиотехнические цепи и сигналы".
- Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. (1987). "Ряды и преобразования Уолша: теория и применения".
- "Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях". 1989.
{{}}
:|first=
з пропущеним|last=
() - Romanuke V.V. ON THE POINT OF GENERALIZING THE WALSH FUNCTIONS TO SURFACES.
- Romanuke V.V. EQUIDISTANTLY DISCRETE ON THE ARGUMENT AXIS FUNCTIONS AND THEIR REPRESENTATION IN THE ORTHONORMAL BASES SERIES.
Джерела
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciyi Uolsha ce simejstvo funkcij yaki utvoryuyut ortogonalnu sistemu sho prijmayut znachennya tilki 1 ta 1 na vsij oblasti viznachennya Grafik pershih chotiroh funkcij Uolsha V matematici bilsh konkretno v garmonijnomu analizi funkciyi Uolsha utvoryuyut ortonormovanij bazis yakij mozhe buti vikoritsanij dlya podannya bud yakoyi diskretnoyi funkciyi tak samo yak trigonometrichni funkciyi mozhut buti vikoristani dlya podannya bud yakoyi neperervnoyi funkciyi v analizi Fur ye Takim chinom yih mozhna rozglyadati yak diskretnij cifrovij analog bezperervnoyi analogovoyi sistemi trigonometrichnih funkcij na odinichnomu intervali Sistema funkcij Uolsha vidoma yak sistema Uolsha Ce rozshirennya sistemi ortogonalnih funkcij Rademahera V principi funkciyi Uolsha mozhut buti predstavleni v bezperervnij formi ale chastishe yih viznachayut yak diskretni poslidovnosti z 2 n displaystyle 2 n elementiv Grupa z 2 n displaystyle 2 n elementiv utvoryuye matricyu Adamara Funkciyi Uolsha nabuli shirokogo poshirennya v radiozv yazku de z yih dopomogoyu zdijsnyuyetsya kodove rozdilennya kanaliv CDMA napriklad v takih standartah stilnikovogo zv yazku yak IS 95 CDMA2000 abo UMTS Istorichno sklalosya sho buli vikoristani rizni numeraciyi funkcij Uolsha Zhodna z nih ne maye osoblivih plyusiv nad inshoyu Dali vsi vikladki budut privedeni vikoristovuyuchi numeraciyu Uolsha Peli ViznachennyaNehaj funkciya Uolsha viznachena na intervali 0 T displaystyle 0 T Za mezhami cogo intervalu funkciya periodichno povtoryuyetsya Vvedemo bezrozmirnij chas 8 t T displaystyle theta t T Todi funkciya Uolsha pid nomerom k displaystyle k poznachayetsya yak w a l k 8 displaystyle wal k theta Numeraciya funkcij zalezhit vid metodu uporyadkuvannya funkcij Isnuye vporyadkuvannya po Uolshu v comu vipadku funkciyi poznachayutsya tak yak opisano vishe Takozh poshireni uporyadkuvannya po Peli p a l p 8 displaystyle pal p theta i po Adamara h a d h 8 displaystyle had h theta Shodo momentu 8 0 displaystyle theta 0 funkciyi Uolsha mozhna rozdiliti na parni i neparni Voni poznachayutsya yak c a l k 8 displaystyle cal k theta ta s a l k 8 displaystyle sal k theta vidpovidno Ci funkciyi analogichni trigonometrichnim sinusam i kosinusam Zv yazok mizh cimi funkciyami virazhayetsya nastupnim chinom c a l k 8 w a l 2 k 8 displaystyle cal k theta wal 2k theta s a k k 8 w a l 2 k 1 8 displaystyle sak k theta wal 2k 1 theta FormuvannyaIsnuye kilka sposobiv formuvannya Rozglyanemo odin z nih najbilsh naochnih Matricya Adamara mozhe buti sformovana rekursivnim metodom za dopomogoyu pobudovi blokovih matric za takoyu zagalnoyu formuloyu H 2 n H 2 n 1 H 2 n 1 H 2 n 1 H 2 n 1 displaystyle H 2 n begin bmatrix H 2 n 1 amp H 2 n 1 H 2 n 1 amp H 2 n 1 end bmatrix Tak mozhe buti sformovana matricya Adamara dovzhini 2 n displaystyle 2 n H 1 1 displaystyle H 1 begin bmatrix 1 end bmatrix H 2 1 1 1 1 displaystyle H 2 begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix H 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle H 4 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 end bmatrix Kozhen ryadok matrici Adamara i ye funkciyeyu Uolsha V danomu vipadku funkciyi vporyadkovani po Adamaru Nomer funkciyi po Uolshu obchislyuyetsya z nomera funkciyi po Adamara shlyahom perestanovki bit v dvijkovij zapisu nomera v zvorotnomu poryadku z podalshim peretvorennyam rezultatu z kodu Greya Priklad Nomer po Adamaru Dvijkova forma Perestanovka bit Peretvorennya z kodu Greya Nomer po Uolshu 0 00 00 00 0 1 01 10 11 3 2 10 01 01 1 3 11 11 10 2 U pidsumku vihodit matricya Uolsha v yakij funkciyi vporyadkovani po Uolshu W 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle W 4 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 end bmatrix Vlastivosti1 Ortogonalnist Skalyarnij dobutok dvoh riznih funkcij Uolsha dorivnyuye nulyu 0 1 w a l n 8 w a l k 8 d 8 0 if k n displaystyle int limits 0 1 wal n theta cdot wal k theta d theta 0 qquad mbox if k neq n Priklad Pripustimo sho n 1 k 3 displaystyle n 1 k 3 todi 0 1 w a l 1 8 w a l 3 8 d 8 displaystyle int limits 0 1 wal 1 theta cdot wal 3 theta d theta 0 1 4 1 2 d 8 1 4 1 2 1 1 d 8 1 2 3 4 1 1 d 8 3 4 1 1 2 d 8 0 displaystyle int limits 0 1 4 1 2 d theta int limits 1 4 1 2 1 cdot 1 d theta int limits 1 2 3 4 1 cdot 1d theta int limits 3 4 1 1 2 d theta 0 2 Multiplikativnist Dobutok dvoh funkcij Uolsha daye funkciyu Uolsha w a l n 8 w a l k 8 w a l i 8 displaystyle wal n theta cdot wal k theta wal i theta de i n k displaystyle i n oplus k dodavannya po modulyu 2 nomeriv u dvijkovij sistemi Priklad Pripustimo sho n 1 k 3 displaystyle n 1 k 3 todi n k 01 2 11 2 10 2 2 displaystyle n oplus k 01 2 oplus 11 2 10 2 2 V rezultati mnozhennya otrimayemo n 1 1 1 1 w a l 1 8 1 1 1 1 w a l 3 8 1 1 1 1 w a l 2 8 displaystyle begin array c c c c c amp amp amp amp n hline 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp wal 1 theta 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp wal 3 theta hline 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp wal 2 theta end array Porivnyannya funkcij Uolsha i trigonometrichnih funkcijFunkciyi Uolsha i trigonometrichni funkciyi ce sistemi yaki utvoryuyut povnij ortonormovanij nabir funkcij ortogonalnij bazis v Gilbertovomu prostori L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 integrovanih z kvadratom funkcij na odinichnomu intervali Obidvi sistemi dopuskayut prirodne prodovzhennya po periodichnosti z odinichnogo intervalu dijsnoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R Krim togo yak analiz Fur ye na odinichnomu intervali ryad Fur ye i na dijsnij pryamij peretvorennya Fur ye mayut svoyi cifrovi analogi viznachenoyi za dopomogoyu sistemi Uolsha ryad Uolsha analogichnij ryadu Fur ye i peretvorennya Adamara analogichne peretvorennyu Fur yePeretvorennya Uolsha AdamaraDokladnishe Peretvorennya Adamara Ye okremim vipadkom uzagalnenogo peretvorennya Fur ye v yakomu bazisom vistupaye sistema funkcij Uolsha Uzagalnenij ryad Fur ye predstavlyayetsya formuloyu S t i 0 c i u i t displaystyle S t sum i 0 infty c i cdot u i t de u i displaystyle u i ce odna z bazisnih funkcij c i displaystyle c i koeficiyent Rozklad signalu po funkciyam Uolsha maye viglyad S t k 0 c k w a l k t T displaystyle S t sum k 0 infty c k cdot wal k t T U diskretnij formi formula zapishetsya nastupnim chinom S n k 0 c k w a l k n displaystyle S n sum k 0 infty c k cdot wal k n viznachiti koeficiyent c i displaystyle c i mozhna zdijsnivshi skalyarnij dobutok rozkladuvanogo signalu na vidpovidnu bazisnu funkciyu Uolsha c k 1 T 0 T S t w a l k t T d t displaystyle c k frac 1 T int limits 0 T S t cdot wal k t T dt Slid vrahovuvati periodichnij harakter funkcij Uolsha Isnuye takozh shvidke peretvorennya Uolsha Vono ye v znachnij miri bilsh efektivnim nizh peretvorennya Uolsha Adamara Krim togo dlya okremogo vipadku z dvoma zminnimi funkciyi Uolsha uzagalneni yak poverhni Takozh isnuyut visim analogichnih funkcij Uolsha bazisiv ortogonalnih binarnih funkcij sho vidriznyayutsya neregulyarnoyi strukturoyu yaki takozh uzagalneni na vipadok funkcij dvoh zminnih Dlya kozhnogo z vosmi bazisiv dovedeno uyavlennya shidchastih funkcij u viglyadi kincevoyi sumi binarnih funkcij sho zvazhuyutsya z vidpovidnimi koeficiyentami VikoristannyaZastosuvannya funkcij Uolsha mozhna znajti vsyudi de vikoristovuyutsya znakovi predstavlennya zokrema v rozpiznavanni movi obrobci medichnih ta biologichnih zobrazhen ta u cifrovij golografiyi Napriklad shvidki peretvorennya Uolsha Adamara FWHT mozhut buti vikoristani pri analizi cifrovih metodiv kvazi Monte Karlo V radioastronomiyi funkciyi Uolsha mozhut dopomogti zmenshiti vpliv elektrichnih perehresnih pereshkod mizhantennih signaliv Voni takozh vikoristovuyutsya v pasivnih RK panelyah yak X i Y signali dvijkovogo keruvannya de avtokorelyaciyi mizh X i Y mozhut buti zrobleni minimalnimi dlya vimknenih pikseliv Div takozhMatrici Adamara Koeficiyent Uolsha Ortonormovana sistema Peretvorennya Fur ye Ryad Fur ye Ortogonalnij bazisPrimitkiWalsh Joseph 1923 A closed set of normal orthogonal functions Anglijska Fine N J 1949 On the Walsh functions Anglijska Baskakov S I 2005 Radiotehnicheskie cepi i signaly Golubov B I Efimov A V Skvorcov V A 1987 Ryady i preobrazovaniya Uolsha teoriya i primeneniya Preobrazovaniya Fure Uolsha Haara i ih primenenie v upravlenii svyazi i drugih oblastyah 1989 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a first z propushenim last dovidka Romanuke V V ON THE POINT OF GENERALIZING THE WALSH FUNCTIONS TO SURFACES Romanuke V V EQUIDISTANTLY DISCRETE ON THE ARGUMENT AXIS FUNCTIONS AND THEIR REPRESENTATION IN THE ORTHONORMAL BASES SERIES Dzherela