Формула тангенса половинного кута

Формула тангенса половинного кута — формула, що пов'язує тангенс половинного кута с тригонометричними функціями повного кута:

Геометричне доведення формули тангенса половинного кута

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }},}$

де ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ і визначається умовою ${\displaystyle k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi }$.

З цією формулою пов'язані наступні формули:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }},\\[10pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatorname {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2)}{1+\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ і визначається умовою ${\displaystyle \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi }$.

При ${\displaystyle \theta \in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ отримуємо: ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}.}$

Універсальна тригонометрична підстановка в інтегральному численні

Докладніше: Підстановка тангенса півкута

Буває корисно записувати тригонометричні функції через раціональні функції нової змінної ${\displaystyle \ t}$, що дорівнює тангенсу половинного кута.

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$	${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle \sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$	${\displaystyle \csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},}$	${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}$

В цих формул можна виразити арктангенс через натуральний логарифм

${\displaystyle \operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}$

При знаходженні превісних, що містять sin(φ) та cos(φ), підстановка після заміни:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .}$

та

${\displaystyle \varphi =2\operatorname {arctg} (t),}$

виглядає

${\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}$

Гіперболічні тотожності

Можна отримати аналогічні формули для гіперболічних функцій.

${\displaystyle t=\operatorname {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatorname {sh} \theta }{\operatorname {ch} \theta +1}}={\frac {\operatorname {ch} \theta -1}{\operatorname {sh} \theta }}}$

Отимуємо

${\displaystyle \operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$	${\displaystyle \operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$
${\displaystyle \operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$	${\displaystyle \operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle \mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$	${\displaystyle \mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t}},}$
${\displaystyle e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t}},}$	${\displaystyle e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t}}.}$

Відповідно, для арктангенса та натурального логарифма отримуємо:

${\displaystyle \operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}$

Див. також

• Список тригонометричних тотожностей
• Функція Гудермана

Джерела

• Тангенс половинного кута [ 20 червня 2010 у Wayback Machine.] на