Ортогональне доповнення

Ортогональне доповнення підпростору — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, множина векторів простору (в якому визначений скалярний добуток, тобто, це є передгільбертів простір) які є ортогональними до всіх векторів заданого підпростору:

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V:\langle x,y\rangle =0,\quad \forall y\in W\right\}.}$

Властивості

• Ортогональне доповнення є замкнутою множиною.

• В скінченномірному випадку всі лінійні підпростори є замкнутими, тобто ${\displaystyle {\overline {W}}=W,}$ тому:

${\displaystyle W^{\bot \,\bot }=W.}$

• В нескінченномірному гільбертовому просторі підпростори можуть бути незамкненими, але їх ортогональні доповнення є замкненими:

${\displaystyle W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.}$

• В скінченномірному випадку сума розмірностей лінійного підпростору і його ортогонального доповнення рівна розмірності простору:

${\displaystyle \dim W+\dim W^{\bot }=\dim V.}$

Дивись також

• Ядро та образ лінійного оператора

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)