У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:
Його називають рядом Фур'є, якщо доданки і мають вигляд:
де є інтегровною функцією .
Нулі тригонометричного ряду
Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції на інтервалі , яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.
Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S0 = S і Sk+1 — похідна множина від Sk. Якщо існує скінченне число n, для якого Sn скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що Sα скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в Sα.
Див. також
Примітки
- Cooke, Roger (1993), Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985, Archive for History of Exact Sciences, 45 (4): 281—334, doi:10.1007/BF01886630.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici trigonometrichnij ryad ce ryad viglyadu A 0 2 n 1 A n cos n x B n sin n x displaystyle frac A 0 2 displaystyle sum n 1 infty A n cos nx B n sin nx Jogo nazivayut ryadom Fur ye yaksho dodanki A n displaystyle A n i B n displaystyle B n mayut viglyad A n 1 p 0 2 p f x cos n x d x n 0 1 2 3 displaystyle A n frac 1 pi displaystyle int 0 2 pi f x cos nx dx qquad n 0 1 2 3 dots B n 1 p 0 2 p f x sin n x d x n 1 2 3 displaystyle B n frac 1 pi displaystyle int 0 2 pi f x sin nx dx qquad n 1 2 3 dots de f displaystyle f ye integrovnoyu funkciyeyu Nuli trigonometrichnogo ryaduUnikalnist i nuli trigonometrichnih ryadiv aktivno doslidzhuvali v Yevropi XIX stolittya Po pershe Georg Kantor doviv sho yaksho trigonometrichnij ryad zbizhnij do funkciyi f x displaystyle f x na intervali 0 2 p displaystyle 0 2 pi yaka totozhno dorivnyuye nulyu abo zagalnishe vidminna vid nulya ne bilshe nizh u skinchennij kilkosti tochok to vsi koeficiyenti ryadu dorivnyuyut nulyu Piznishe Kantor doviv sho navit yaksho mnozhina S na yakij f displaystyle f vidminna vid nulya ye neskinchennoyu ale pohidna mnozhina S vid S skinchenna to vsi koeficiyenti dorivnyuyut nulyu Naspravdi vin doviv zagalnishij rezultat Nehaj S0 S i Sk 1 pohidna mnozhina vid Sk Yaksho isnuye skinchenne chislo n dlya yakogo Sn skinchenna to vsi koeficiyenti dorivnyuyut nulyu Piznishe Lebeg doviv sho yaksho isnuye zlichenno neskinchennij ordinal a takij sho Sa skinchenna to vsi koeficiyenti ryadu dorivnyuyut nulyu Robota Kantora nad problemoyu unikalnosti yak vidomo privela jogo do vinahodu transfinitnih poryadkovih chisel yaki z yavilisya yak indeksi a v Sa Div takozhTeorema Danzhua LuzinaPrimitkiCooke Roger 1993 Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory 1870 1985 Archive for History of Exact Sciences 45 4 281 334 doi 10 1007 BF01886630