Теорема виродженості

Теорема виродженості — теорема стосовно обернення блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці.

Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.}$

Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m.

Теорема стверджує, що:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}}$

Загальніше, якщо підматриця утворена з рядків з індексами {i₁, i₂, …, i_m} і стовпчиків з індексами {j₁, j₂, …, j_n}, тоді доповняльна матриця утворена з рядків з індексами {1, 2, …, N} \ {j₁, j₂, …, j_n} і стовпчиків з індексами {1, 2, …, N} \ {i₁, i₂, …, i_m}, де N це розмір цілої матриці. Теорема виродженості стверджує, що розмірність нуль-простору будь-якої підматриці дорівнює розмірності нуль-простору доповняльної підматриці в оберненій матриці.

Доведення

Припустимо, що ${\displaystyle {\mbox{n}}(A)\leq {\mbox{n}}(H).}$ Якщо це не так, ми можемо довести теорему для матриць

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}H&G\\F&E\end{bmatrix}},}$

які також обернені одна до одної. Припустимо, що ${\displaystyle {\mbox{n}}(H)>0}$ інакше ${\displaystyle {\mbox{n}}(A)=0}$ і теорема доведена.

Коли ${\displaystyle {\mbox{n}}(H)=c>0,}$ тоді існує матриця ${\displaystyle K}$ з ${\displaystyle c}$ лінійно незалежними стовпчиками, такими що ${\displaystyle HK=0.}$ Отже, домножуючи наступне рівняння на ${\displaystyle K}$ праворуч:

${\displaystyle AF+BH=0}$

ми отримуємо, що

${\displaystyle AFK=0.}$

Застосовуючи таку саму дію до відношення

${\displaystyle CF+DH=I,}$

маємо, що ${\displaystyle CFK=K,}$ звідси, використовуючи (властивість рангу) добутку матриць, у нашому випадку ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle FK,}$ робимо висновок, що ${\displaystyle {\mbox{rank}}(FK)\geq c.}$

Використовуючи ці два твердження разом, ми виводимо

${\displaystyle {\mbox{n}}(A)\geq {\mbox{rank}}(FK)\geq c={\mbox{n}}(H).}$

Разом із нашим припущенням, що ${\displaystyle {\mbox{n}}(A)\leq {\mbox{n}}(H),}$ це доводить теорему.

Примітки

1. M. Fiedler; T.L. Markham (1986). . Linear Algebra and its Applications. 74: 225—237. doi:10.1016/0024-3795(86)90125-4. Архів оригіналу за 24 вересня 2015. Процитовано 9 грудня 2014.