Періодичні функції

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом ${\displaystyle T=2\pi }$.

Означення

Нехай ${\displaystyle M}$ — абелева група (зазвичай вважається, що ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}$ — дійсні числа з операцією додавання або ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ — комплексні числа). Функція ${\displaystyle \ f:M\to N}$ називається періодичною з пері́одом ${\displaystyle \ T\neq 0}$ , якщо виконується

${\displaystyle f(x+T)=f(x-T)=f(x),\quad \forall x\in M}$.

Якщо ця рівність не виконується для всіх ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0}$ , то функція ${\displaystyle f}$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to N}$ існують два періоди ${\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}$, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є ${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle f}$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення ${\displaystyle f}$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$.

Примітка

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо ${\displaystyle T}$ — період, то і довільний елемент ${\displaystyle T'}$ вигляду ${\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}}$ , де ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодів ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}}$ є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

• Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами ${\displaystyle T_{1}}$ і ${\displaystyle T_{2}}$ є функцією з основним періодом НСК${\displaystyle (T_{1},T_{2})}$.
• Сума двох функцій із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
• Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади

• Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом ${\displaystyle 2\pi }$ , оскільки

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

• Функція рівна константі ${\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }$ є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.

• Функція ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} }$ є аперіодичною.

Див. також

• Майже періодична функція
• Ряд Фур'є
• Коливання
• Гармонічний аналіз

Посилання

• Функція періодична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 18—20.(рос.)
• Періодичні функції на MathWorld [ 26 лютого 2020 у Wayback Machine.]