Визначник Вандермонда

Визна́чником Вандермонда називається визначник:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&\ldots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&\ldots &x_{2}^{n-1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq j<i\leq n}\!(x_{i}-x_{j})}$.

Він дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли існує хоч одна пара ${\displaystyle \left(x_{i},x_{j}\right)}$ така, що ${\displaystyle x_{i}=x_{j},i\neq j}$.

Доведення  

Індукція за розміром матриці ${\displaystyle m}$.

База

${\displaystyle m=2}$. Матриця має вигляд

${\displaystyle V_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Зрозуміло, її визначник дорівнює ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$.

Індукційне припущення

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m-1}&x_{m-1}^{2}&\dots &x_{m-1}^{m-2}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_{j}-x_{i})}$

Індукційний перехід

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-1}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{m-1}\\\end{vmatrix}}}$

Віднімемо від останнього стовпця передостанній, помножений на ${\displaystyle x_{1}}$, від ${\displaystyle m-2}$-ого — ${\displaystyle m-3}$-й, помножений на ${\displaystyle x_{1}}$, від ${\displaystyle i}$-ого — ${\displaystyle i-1}$-й, помножений на ${\displaystyle x_{1}}$ і так далі для всіх стовпців. Ці перетворення не змінюють визначник матриці. Отримаємо

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$

Розкладаючи цей визначник по елементах першого рядка, отримаємо, що він дорівнює наступному визначнику:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.\\x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$

Для всіх ${\displaystyle i}$ від 2 до ${\displaystyle m}$ винесемо з ${\displaystyle i}$-го рядка множник ${\displaystyle x_{i}-x_{1}}$. Отримаємо

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1}){\begin{vmatrix}1&x_{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.\\1&x_{m}&\dots &x_{m}^{m-2}\\\end{vmatrix}}}$

Підставимо значення з індукційного припущення:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1})\prod \limits _{2\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})}$, що й треба було довести.

Див. також

• Матриця Вандермонда