Рівняння Вінера — Гопфа

Ме́тод Ві́нера — Го́пфа (англ. Wiener–Hopf method) — метод розв'язування інтегральних рівнянь спеціального типу, що широко використовується в прикладній математиці. Рівняннями Вінера — Гопфа називаються лінійні інтегральні рівняння з різницевим ядром типу

${\displaystyle \beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x),}$

де ${\displaystyle \varphi (x)}$ — невідома функція; ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle K(xs)}$ — відомі функції, ${\displaystyle \lambda ,\beta }$ — параметри. При ${\displaystyle \beta =0}$ називається рівнянням Вінера-Гопфа 1-го роду, при при ${\displaystyle \beta =1}$ називається рівнянням Вінера-Гопфа 2-го роду. Метод розроблений Норбертом Вінером і Ебергардом Гопфом у 1931 році.

Метод

Для розвя’язування вводяться т. зв. однобічні функції ${\displaystyle \varphi _{+}(x)}$ та ${\displaystyle f_{+}(x)}$, що дорівнюють ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ при x>0 і рівні 0 при x<0, та функція ${\displaystyle \varphi _{-}(x)}$, що дорівнює 0 при x>0. Введення однобічних функцій дозволяє звести інтеграл в цьому рівнянні до інтеграла типу згортки

${\displaystyle \beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)}$.

Таким чином, за допомогою односторонніх функцій область визначення рівняння продовжується на від’ємну піввісь. Застосовуючи перетворення Фур'є

${\displaystyle \varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx}$, отримуємо лінійне рівняння з двома невідомими функціями.

Для рівняння-образу

${\displaystyle \varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)}}}$

розв’язується крайова задача Рімана, тобто визначаються функції ${\displaystyle \varphi ^{-}}$ і ${\displaystyle \varphi ^{+}}$. Розв’язком інтегрального рівняння буде оберненим перетворенням Фур'є функції

${\displaystyle \varphi ^{+}}$: ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^{-iux}du}$.

Застосування

Цей метод був розроблений для задачі про дифракцію хвиль на півплощині, знайшов застосування в теорії хвилеводів, в задачах про дифракцію хвиль і перенесення випромінювання. Рівняння ж було отримане при вирішенні задачі радіаційної рівноваги всередині зірок. Також використовується в кібернетиці, при вирішенні задачі виділення, фільтрації корисного сигналу з його суміші з шумом.

Література

• ( )( )(ru) Физическая энциклопедия / гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Сов.энциклопедия, 1988.
• ( )( )(ru) Винер Н. Я — математик. — М. : Наука, 1964. — 353 с. : ил.
  • Гл. 6. Творческие успехи и радости. 1927—1931 (с. 120—143).
• ( )( )(ru) Самойленко В. И., Пузырёв В. А., Грубрин И. В. Техническая кибернетика : учеб. пособие. — М. : Изд-во МАИ, 1994. — 280 с. : ил. — .
  • Гл. 3. Синтез линейных систем. Оптимальные системы (с. 60—63).
    • П. 3.3. Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера — Хопфа.
•  ( )( )(ru) Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — .
  • Гл. 5. Методы решения интегральных уравнений.
    • П. 5.9—1. Уравнение Винера — Хопфа второго рода.
• ( )( )(ru) Мышкис А. Д. Математика для технических вузов : спец. курсы. — 2-е изд. — СПб. : Лань, 2002. — 640 с. — .
  • Гл. 7: Интегральные уравнения.
    • П. 4: Некоторые специальные классы уравнений.
    • П. 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси.