Істотний многовид

Істотні многовиди — особливий тип замкнутих многовидів. Поняття було введено Громовим.

Означення

n-вимірний замкнутий многовид М називається істотним, якщо його [М] визначає ненульовий елемент в гомології його фундаментальної групи π. Точніше, природний гомоморфізм

${\displaystyle H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1))}$,

не тривіальний.

Тут фундаментальний клас береться в гомологій з цілими коефіцієнтами, якщо многовиди є орієнтованим, і коефіцієнтами за модулем 2 в іншому випадку.

Приклади

• Все замкнуті поверхні (тобто 2-мірні многовиди) є істотними, за винятком 2-сфери S².
• Дійсний проективний простір RPⁿ є істотним, оскільки включення

  ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }}$

є ін'єктивним в гомологіях і

${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)}$

 — це K(π,1)-простір скінченної циклічної групи порядку 2.

• Всі компактні асферичні многовиди є істотними (оскільки асферічність має на увазі, що многовид сам вже є K(π,1))
  • Зокрема, всі компактні гіперболічні многовиди є істотними.
• Все лінзові простори є істотними.

Властивості

• Зв'язна сума істотних многовидів істотна.
• Прямий добуток істотних многовидів істотний.
• Будь-який многовид, що допускає відображення ненульового ступеня в істотний, також є істотним.

Примітки

1. Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.