Теорема Левінсона

Теорема Левінсона — визначає умови того, що дві системи асимптотично еквівалентні.

Формулювання теореми

Нехай розв'язки системи

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (1)}$

де ${\displaystyle A}$ — стала ${\displaystyle (n\times n)}$-матриця, обмежені на ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тоді система

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)}$

де ${\displaystyle B(t)\in C[0,\infty )}$ та ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty ,\quad (3)}$

асимптотично еквівалентна системі ${\displaystyle \quad (1)}$.

Доведення

(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру)

Оскільки розв'язки системи ${\displaystyle \quad (1)}$ обмежені, то характеристичні корені ${\displaystyle \lambda \ (A)}$ матриці ${\displaystyle A}$  задовольняють рівність

${\displaystyle Re\lambda \ (A)\leq \ 0,}$

причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.

Без обмеження загальності припустимо, що матриця ${\displaystyle A}$  має квазідіагональний вигляд

${\displaystyle \quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)}$

де ${\displaystyle \quad A_{1}}$  та ${\displaystyle \quad A_{2}}$ -- відповідно, ${\displaystyle (p\times p)}$- та ${\displaystyle (q\times q)}$-матриці ${\displaystyle \quad (p+q)}$ такі, що

${\displaystyle Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,}$

${\displaystyle Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)}$

Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень ${\displaystyle \xi \ =S{\boldsymbol {x}},}$ та ${\displaystyle \eta \ =S{\boldsymbol {y}},}$ де ${\displaystyle \quad S}$ — стала ${\displaystyle (n\times n)}$-матриця, причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)\Longleftrightarrow {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=S^{-1}\xi (t)\Longleftrightarrow S^{-1}\eta (t)={\boldsymbol {y}}(t)}$.

Крім того, з граничного відношення ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)-{\boldsymbol {\eta }}(t)\to 0,}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ очевидно, випливає граничне відношення

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)-{\boldsymbol {y}}(t)\to 0,}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$.

${\displaystyle \quad 1)}$  Нехай ${\displaystyle \quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})}$ — фундаментальна матриця системи ${\displaystyle \quad (1),}$ нормована в нулі: ${\displaystyle \quad X(t)=E,}$ та ${\displaystyle \quad I_{1}=diag(E_{p},0),}$ та ${\displaystyle \quad I_{2}=diag(0,E_{q}),}$ де ${\displaystyle \quad E_{q}}$ та ${\displaystyle \quad E_{p}}$ — одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно, ${\displaystyle \quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.}$

Покладемо ${\displaystyle \quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),}$ де ${\displaystyle \quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}\equiv diag(e^{tA_{1}},0),}$ та ${\displaystyle \quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}\equiv diag(0,e^{tA_{2}})}$.

Звідси матрицю Коши ${\displaystyle \quad K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )}$ можна представити у вигляді:

${\displaystyle \quad K(t,\tau )=X_{1}(t-\tau )+X_{2}(t-\tau ),}$

причому за умови ${\displaystyle \quad (5)}$ маємо

${\displaystyle \lVert X_{1}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{1}}\rVert \leq ae^{-\alpha t},}$

при ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$   ${\displaystyle \quad (6)}$ та  

${\displaystyle \lVert X_{2}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{2}}\rVert \leq b,}$

 при ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ ${\displaystyle \quad (7),}$ де ${\displaystyle \quad a,b}$ - деякі додатні константи.

Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння ${\displaystyle \quad (2)}$ можна записати в інтегральній формі

${\displaystyle \quad y(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +}$

${\displaystyle +\int _{t_{0}}^{t}X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau ,}$

   де  ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$  довільне.

Оскільки матриця ${\displaystyle \quad B(t)}$ абсолютно інтегровна на ${\displaystyle [0,\infty ),}$ то всі розв'язки ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$ системи ${\displaystyle \quad (2)}$ обмежені на ${\displaystyle [0,\infty ),}$ і тому невласний інтеграл ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau }$ є збіжним.

Звідси, враховуючи, що ${\displaystyle \quad X_{2}(t-\tau )=X(t-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}-\tau ),}$ наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді

${\displaystyle \quad y(t)=X(t-t_{0})\left\lbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \right\rbrack +}$

${\displaystyle +\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (8)}$

Розв'язку ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}$ системи ${\displaystyle \quad (2)}$ з початковою умовою ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}}$ співставимо розв'язок ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ системи ${\displaystyle \quad (1)}$ з початковою умовою

${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (9)}$

Оскільки розв'язки ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ та ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}$ повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула ${\displaystyle \quad (9)}$ встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {y}}(t)\rbrace }$ системи ${\displaystyle \quad (2)}$ та множиною розв'язків ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }$ (або її частиною) системи ${\displaystyle \quad (1)}$. Зауважимо, що відношення ${\displaystyle \quad (9)}$ неперервне відносно початкового значення ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}.}$

${\displaystyle \quad 2)}$  Покажемо, що відповідність між розв'язками ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ та ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t),}$ що визначається формулою ${\displaystyle \quad (9),}$ є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }$.

Нехай ${\displaystyle \quad Y(t)}$ — фундаментальна матриця системи ${\displaystyle \quad (1)}$ така, що ${\displaystyle \quad Y(t_{0})=E}$ .Маємо

${\displaystyle Y(t)=X(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau .}$

Але з нерівностей ${\displaystyle \quad (6),(7)}$ випливає ${\displaystyle \lVert X(t-t_{0})\rVert \leq max(a,b)=c,}$   при  ${\displaystyle t\geq t_{0}}$;

тому

${\displaystyle \lVert Y(t)\rVert \geq c+\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau }$

та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо

${\displaystyle \lVert Y(t)\rVert \geq c\,\exp(\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )\geq c\,\exp(c\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )=k,\quad }$при ${\displaystyle t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),}$

причому константа ${\displaystyle \quad k}$ за оцінкою ${\displaystyle \quad (10)}$ не залежить від вибору початкового моменту ${\displaystyle t_{0}(t_{0}\leq 0).}$

Очевидно, маємо ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)=Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0}).}$ Тому з формули ${\displaystyle \quad (9)}$ отримуємо ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0}),\quad }$ де ${\displaystyle Z(t_{0})=\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau ,\quad }$ причому на основі ${\displaystyle \quad (7),(10)}$ виводимо

${\displaystyle \lVert Z(t_{0})\rVert \geq \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert X_{2}(t_{0}-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau \geq bk\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \quad (12).}$

Оскільки матриця ${\displaystyle \quad B(t)}$ абсолютно інтегровна на ${\displaystyle \quad [0,\infty )}$, то ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \to 0}$ при ${\displaystyle t_{0}\to \infty }$, отже, в силу ${\displaystyle \quad (12)}$ початковий момент ${\displaystyle \quad t_{0}}$ можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність ${\displaystyle \det \lbrack E+Z(t_{0})\rbrack >0.(13)}$

Надалі ${\displaystyle \quad t_{0}\quad }$ будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності ${\displaystyle \quad (13)}$. Звідси та з формули ${\displaystyle \quad (11)}$ виводимо

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack ^-1{\boldsymbol {x}}(t_{0}).\qquad (14)}$

Оскільки формули ${\displaystyle \quad (11)}$ та ${\displaystyle \quad (14)}$ рівносильні, то для кожного розв'язку ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ системи ${\displaystyle \quad (1)}$ з початковою умовою ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x_{0}}}\quad }$ знайдеться тільки один розв'язок ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }$ системи ${\displaystyle \quad (2),}$ що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})\quad }$ якого визначається формулою ${\displaystyle \quad (14).}$

Відповідність між розв'язками ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)}$ та ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$, що встановлюється формулами ${\displaystyle \quad (11)}$ та ${\displaystyle \quad (14),\quad }$ — взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$ відповідає один і тільки один розв'язок ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }$, і навпаки.

Відмітимо, що тривіальному розв'язку ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\equiv 0\quad }$ відповідає тривіальний розв'язок ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\equiv 0\quad }$ та в силу лінійності співвідношень ${\displaystyle \quad (11)}$ та ${\displaystyle \quad (14)}$ різними розв'язками ${\displaystyle {\boldsymbol {y_{1}}}(t)}$ та ${\displaystyle {\boldsymbol {y_{2}}}(t)\quad }$ системи ${\displaystyle \quad (2),}$ відповідають різні розв'язки ${\displaystyle {\boldsymbol {x_{1}}}(t)\quad }$ та ${\displaystyle {\boldsymbol {x_{2}}}(t)\quad }$ системи ${\displaystyle \quad (1),}$ і навпаки.

${\displaystyle \quad 3)}$ Для відповідних розв'язків ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }$ та ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }$ оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {x}}(t_{0}),\qquad }$ де ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})}$ визначається формулою ${\displaystyle \quad (9)}$, то з формули ${\displaystyle \quad (8)}$ маємо

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau .}$

Звідси, враховуючи, що

${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)\rVert =\lVert Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \leq \lVert Y(t)\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \leq k\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert ,}$ при ${\displaystyle t\geq t_{0},}$

на основі оцінок ${\displaystyle \quad (6)}$ та ${\displaystyle \quad (7)}$ отримуємо

${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq }$

${\displaystyle \leq ak\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,bk\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \int _{t}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau .(15)}$

Враховуючи абсолютну інтегровність матриці ${\displaystyle \quad B(t)}$ при ${\displaystyle t\geq 2t_{0}}$ маємо ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq }$

${\displaystyle \leq e^{-{\frac {\alpha t}{2}}}\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,<\varepsilon \,,}$ якщо ${\displaystyle \quad t>T.}$

Отже, ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =0.}$ Таким чином, з нерівності ${\displaystyle \quad (15)}$ виводимо ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0,}$ тобто системи ${\displaystyle \quad (1)}$ та ${\displaystyle \quad (2)}$ асимптотично еквівалентні. Доведено.

Див. також

• Лема Гронуолла-Беллмана
• Асимптотично еквівалентні системи

Примітки

1. Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758—765

Джерела

• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)