3j-символи

У квантовій механіці 3-jm-символи Вігнера, або як їх ще називають 3j-символи, що співвідносяться з коефіцієнтами Клебша — Ґордана так:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .}$

Зворотне відношення

Зворотне відношення можна знайти приймаючи до уваги, що j₁ - j₂ - m₃ є цілим числом й роблячи заміну ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}$

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Властивості симетрії

Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3j-символами значно зручніше, ніж коефіцієнтами Клебша — Ґордана. 3j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j₁+j₂+j₃ може приймати значення 1 чи -1

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Зміна знаку на протилежний біля усіх квантових чисел ${\displaystyle m}$ додає такий же фазовий множник:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Правила відбору

3j-символи Вігнера завжди рівні нулю за виключенням випадків, коли одночасно виконуються всі такі умови:

${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\,}$

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}\,}$ є цілим числом

${\displaystyle |m_{i}|\leq j_{i}}$

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}}$ («правило трикутника»).

Обчислення

Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&=\delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

де знак ! вказує на факторіал числа, а сумування проводиться по всім цілим k. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює ${\displaystyle -\infty }$, то маємо скінченне число членів суми.

Формули для 3j-символів для простих випадків

Випадок

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j+{\frac {1}{2}}&j&{\frac {1}{2}}\\m&-m-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m-{\frac {1}{2}}}\left[{\frac {j-m-{\frac {1}{2}}}{(2j+1)(2j+2)}}\right]^{\frac {1}{2}}}$.

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&1\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=0}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\frac {2m}{[2j(2j+1)(2j+2)]^{\frac {1}{2}}}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -[{\frac {2(j+m+1)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=1}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle [{\frac {2(j-m)(j+m+1)}{[2j(2j+1)(2j+2)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -[{\frac {(j-m)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m+{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&{\frac {3}{2}}\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -(j+3m+{\frac {3}{2}})[{\frac {j-m+{\frac {1}{2}}}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle -[{\frac {3(j-m+{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {3}{2}})(j+m+{\frac {3}{2}})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}={\frac {3}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle [{\frac {3(j-m-{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {1}{2}})(j+m+{\frac {3}{2}})}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle -[{\frac {(j-m-{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {1}{2}})(j-m+{\frac {3}{2}})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Випадок

${\displaystyle (-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j_{1}&j&2\\m&-m-m_{3}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=0}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\frac {2[3m^{2}-j(j+1)]}{[(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)]^{\frac {1}{2}}}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2m[{\frac {6(j+m+1)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle [{\frac {6(j+m+2)(j+m+1)(j-m+2)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=1}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle (1+2m)[{\frac {6(j+m+1)(j-m)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2(j+2m+2)[{\frac {(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle 2[{\frac {(j+m+2)(j-m+2)(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j_{1}=}$	${\displaystyle m_{3}=2}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle [{\frac {6(j-m-1)(j-m)(j+m+1)(j+m+2)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+1}$	${\displaystyle -2[{\frac {(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j+m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}}]^{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle j+2}$	${\displaystyle [{\frac {(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j-m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}}]^{\frac {1}{2}}}$

Скалярний інваріант

добутку трьох станів обертання з 3j-символом,

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}$

є інваріантним щодо операцій обертання.

Відношення ортогональності

${\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'};}$

${\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'},}$

де ${\displaystyle \delta _{jj'},\delta _{mm'},\delta _{m_{1}m_{1}'}}$ та ${\displaystyle \delta _{m_{2}m_{2}'}}$ є символами Кронекера.

Відношення до сферичних гармонік

Результат обчислення інтегралу від добутку трьох сферичних гармонік можна подати у вигляді 3j-символів таким чином

${\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ та ${\displaystyle l_{3}}$ — цілі числа.

Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік

${\displaystyle \int Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{2}})Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{3}})Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })\;d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

Інші властивості

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}}$

Див.також

• коефіцієнти Клебша — Ґордана
• Сферичні гармоніки
• 6j-символи

Джерела

1. Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. «Квантова механіка. Нерелятивістська теорія», збірка «Теоретична фізика», том 3, Москва «Наука», 1989

• L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
• E. P. Wigner, "On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups", unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
• Moshinsky, Marcos (1962). Wigner coefficients for the SU₃ group and some applications. Rev. Mod. Phys. 34 (4): 813. doi:10.1103/RevModPhys.34.813.
• Baird, G. E.; Biedenharn, L. C. (1963). On the representation of the semisimple Lie Groups. II. J. Math. Phys. 4: 1449. doi:10.1063/1.1703926.
• Swart, J. J. (1963). The octet model and its Glebsch-Gordan coefficients. Rev. Mod. Phys. 35 (4): 916. doi:10.1103/RevModPhys.35.916.
• Baird, G. E.; Biedenharn, L. C. (1964). On the representations of the semisimple Lie Groups. III. The explicit conjugation Operation for SU_n. J. Math. Phys. 5: 1723. doi:10.1063/1.1704095.
• Horie, Hisashi (1964). Representations of the symmetric group and the fractional parentage coefficients. J. Phys. Soc. Jpn. 19: 1783. doi:10.1143/JPSJ.19.1783.
• P. McNamee, S. J.; Chilton, Frank; Chilton, Frank (1964). Tables of Clebsch-Gordan coefficients of SU₃. Rev. Mod. Phys. 36 (4): 1005. doi:10.1103/RevModPhys.36.1005.
• Hecht, K. T. (1965). SU₃ recoupling and fractional parentage in the 2s-1d shell. Nucl. Phys. 62 (1): 1. doi:10.1016/0029-5582(65)90068-4.
• Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). Unitary groups: representations and decompositions. Rev. Mod. Phys. 38 (1): 95. doi:10.1103/RevModPhys.38.95.
• Kramer, P. (1967). Orbital fractional parentage coefficients for the harmonic oscillator shell model. Z. Physik. 205 (2): 181. doi:10.1007/BF01333370.
• Kramer, P. (1968). Recoupling coefficients of the symmetric group for shell and cluster model configurations. Z. Physik. 216 (1): 68. doi:10.1007/BF01380094.
• Hecht, K. T.; Pang, Sing Ching (1969). On the Wigner Supermultiplet Scheme. J. Math. Phys. 10 (9): 1571. doi:10.1063/1.1665007.
• Lezuo, K. J. (1972). The symmetric group and the Gel'fand basis of U(3). Generalizations of the Dirac identity. J. Math. Phys. 13 (9): 1389. doi:10.1063/1.1666151.
• Draayer, J. P.; Akiyama, Yoshimi (1973). Wigner and Racah coefficients for SU₃. J. Math. Phys. 14 (12): 1904. doi:10.1063/1.1666267.
• Akiyama, Yoshimi; Draayer, J. P. (1973). A users' guide to fortran programs for Wigner and Racah coefficients of SU₃. Comp. Phys. Comm. 5: 405. doi:10.1016/0010-4655(73)90077-5.
• Paldus, Josef (1974). Group theoretical approach to the configuration interaction and perturbation theory calculations for atomic and molecular systems. J. Chem. Phys. 61 (12): 5321. doi:10.1063/1.1681883.
• Haacke, E. M.; Moffat, J. W.; Savaria, P. (1976). A calculation of SU(4) Glebsch-Gordan coefficients. J. Math. Phys. 17 (11): 2041. doi:10.1063/1.522843.
• Paldus, Josef (1976). Unitary-group approach to the many-electron correlation problem: Relation of Gelfand and Weyl tableau formulations. Phys. Rev. A. 14 (5): 1620. doi:10.1103/PhysRevA.14.1620.
• Bickerstaff, R. P.; Butler, P. H.; Butts, M. B.; Haase, R. w.; Reid, M. F. (1982). 3jm and 6j tables for some bases of SU₆ and SU₃. J. Phys. A. 15: 1087. doi:10.1088/0305-4470/15/4/014.
• Sarma, C. R.; Sahasrabudhe, G. G. (1980). Permutational symmetry of many particle states. J. Math. Phys. 21 (4): 638. doi:10.1063/1.524509.
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). A new approach to permutation group representation. J. Math. Phys. 23: 928. doi:10.1063/1.525460.
• Sarma, C. R.; Sarma (1982). Determination of basis for the irreducible representations of the unitary group for U(p+q)↓U(p)×U(q). J. Math. Phys. 23 (7): 1235. doi:10.1063/1.525507.
• Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). The Gel'fand basis and matrix elements of the graded unitary group U(m/n). J. Phys. A. 16 (15): 3435. doi:10.1088/0305-4470/16/15/010.
• Nikam, R. S.; Dinesha, K. V.; Sarma, C. R. (1983). Reduction of inner-product representations of unitary groups. J. Math. Phys. 24 (2): 233. doi:10.1063/1.525698.
• Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). Transformation coefficients of permutation groups. J. Math. Phys. 24: 2695. doi:10.1063/1.525668.
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). The Clebsch-Gordan coefficient for SU(m/n) Gel'fand basis. J. Phys. A. 17 (3): 481. doi:10.1088/0305-4470/17/3/011.

Посилання

• Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном [ 11 вересня 2010 у Wayback Machine.] (дає точну відповідь)
• (чисельно)
• Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science [ 5 червня 2010 у Wayback Machine.] (чисельно)