Критерій Фрідмана

Критерій Фрідмана (англ. Friedman test) — непараметричний статистичний тест. Його було названо на честь американського економіста Мілтона Фрідмана, який його розробив, і в 1937 році опублікував у журналі ^[en]. Він є узагальненням і застосовується для зіставлення ${\displaystyle c}$ умов вимірювання (${\displaystyle c\geqslant 3}$) для ${\displaystyle n}$ об'єктів спостереження. Тест Фрідмана активно застосовується в прикладних сатистико-аналітичних розрахунках і підтримується багатьма пакетами прикладних програм таких, як SPSS, R та інші.

Гіпотетична задача

Нехай ми маємо статистичну вибірку, що включає ${\displaystyle c}$ вимірювань для кожного з ${\displaystyle n}$ параметрів, які ми вивчаємо. Дані вибірки подано у формі таблиці:

	Умови
№ об'єкта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle x_{11}}$	${\displaystyle x_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle x_{12}}$	${\displaystyle x_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{1n}}$	${\displaystyle x_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle x_{cn}}$

У якості нульової гіпотези ${\displaystyle H_{0}}$ розглядається наступна: «між отриманими в різних умовах вимірюваннями є лише випадкові відмінності». Вибирається рівень значущості ${\displaystyle \alpha }$, наприклад, ${\displaystyle \alpha =0,01}$ (імовірність помилкового відхилення нульової гіпотези).

Перевірка гіпотези

Для перевірки гіпотези побудуємо пострічково таблицю рангів. При цьому отримаємо ранги ${\displaystyle r_{ij}}$ об'єкта ${\displaystyle x_{ij}}$ при ранжуванні ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}}$

	Ранги
№ об'єкта	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle r_{11}}$	${\displaystyle r_{21}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c1}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle r_{12}}$	${\displaystyle r_{22}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{c2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle r_{1n}}$	${\displaystyle r_{2n}}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle r_{cn}}$

У результаті ми отримаємо суми рангів і введемо інші позначення:

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}}$

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}}$

Для перевірки гіпотези використаємо «емпіричне значення критерію»:

${\displaystyle S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\bar {R}}})^{2}}$,

Її ж можна представити і в такому вигляді:

${\displaystyle S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)}$

Нульова гіпотеза приймається за умови, якщо "критичне значення критерію" буде більшим, ніж емпіричне:

${\displaystyle S<S_{\alpha }(n,c)}$

Для малих значень ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle c}$ для критичного значення критерію Фрідмана існують спеціальні таблиці для різних значень рівня значимості ${\displaystyle \alpha }$ (або довірчої ймовірності ${\displaystyle 1-\alpha }$).

Для ${\displaystyle n\geqslant 13}$ і ${\displaystyle c\geqslant 20}$ застосовується апроксимація — ${\displaystyle \alpha }$-Квантилі розподілу хі-квадрат з ступенями вільності ${\displaystyle c-1}$:

${\displaystyle S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)}$

Примітки

1. Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association
2. . Архів оригіналу за 9 січня 2019. Процитовано 28 лютого 2019.
3. . Архів оригіналу за 29 липня 2014. Процитовано 28 лютого 2019.

Джерела

• Bruce M. King, Edward W. Minium, Statystyka dla psychologów i pedagogów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 576.
• Daniel, Wayne W. (1990). "Friedman two-way analysis of variance by ranks". Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 262–74. .
• Hollander, M.; Wolfe, D. A. (1973). Nonparametric Statistics. New York: J. Wiley. .
• The Friedman Two-Way Analysis of Variance by Ranks. In: David Sheskin: Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures. Vierte Auflage. CRC Press, Boca Raton 2007, , S. 1075–1088.

Посилання

• Критерій Фрідмана [ 27 лютого 2019 у Wayback Machine.]
• Критерий Фридмана [ 1 березня 2019 у Wayback Machine.]