Рівність Парсеваля

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Парсіфаль (значення).

Рівність Парсеваля — аналог теореми Піфагора у векторних просторах з скалярним добутком. Початково подібне твердження для простору періодичних функцій, було сформульоване Парсевалем у 1799 році.

Неформально, рівність стверджує, що сума квадратів коефіцієнтів Фур'є функції дорівнює інтегралу квадрата функції,

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,}$

де коефіцієнти Фур'є c_n для ƒ задаються так

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.}$

Формулювання

Якщо X — нормований сепарабельний векторний простір зі скалярним добутком ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ і ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ — відповідна йому норма і ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ — ортонормована система в X , тобто

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}}$

то рівністю Парсеваля для елемента ${\displaystyle x\in X}$ називається рівність

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.}$

Виконання рівності Парсеваля для даного елементу ${\displaystyle x\in X}$ є необхідною і достатньою умовою того, щоб ряд Фур'є цього елементу по ортонормованій системі ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ сходився до самого елемента x по нормі простору X. Виконання рівності Парсеваля для будь-якого елемента ${\displaystyle x\in X}$ є необхідною і достатньою умовою для того, щоб ортогональна система ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ була повною системою в X.

Гільбертові простори

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$, де ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярний добуток, визначений на множині ${\displaystyle H}$. Тоді якщо ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ — ортонормований базис в ${\displaystyle H}$, то рівність Парсеваля виконується для всіх ${\displaystyle x\in H.}$

Також, якщо ${\displaystyle x,y\in H.}$ і ${\displaystyle a_{n}=\langle x,a_{n}\rangle }$ і ${\displaystyle b_{n}=\langle x,b_{n}\rangle ,}$ то:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}}$

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k\in B}}$ (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу ${\displaystyle x\in X}$ справедлива рівність Парсеваля:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.}$

Див. також

• Нерівність Бесселя

Посилання

• Вагін П., Остудін Б., Шинкаренко Г. Основи функціонального аналізу^{[недоступне посилання з квітня 2019]}