Щільність послідовності

Щільність послідовності ― поняття загальної адитивної теорії чисел, що вивчає закони додавання цілих послідовностей загального вигляду. Щільність послідовності є мірою того, яка частина послідовності всіх натуральних чисел належить даній послідовності ${\displaystyle A=\{a_{i}\}}$ цілих невід'ємних чисел ${\displaystyle 0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots }$. Під поняттям щільності послідовності мають на увазі щільність ${\displaystyle d(A)}$, введену в 1930 Шнірельманом (звідси англійська назва терміна — Schnirelmann density) послідовності, А саме:

${\displaystyle d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+}}(\pi _{A}(n)-1)/n}$

де ${\displaystyle \pi _{A}(n)}$ — кількість членів послідовності ${\displaystyle A}$, що не перевищують ${\displaystyle n}$.

Пов'язані визначення

Нехай ${\displaystyle A+B}$ ― арифметична сума послідовностей ${\displaystyle A=\{a_{i}\}}$ і ${\displaystyle B=\{b_{i}\}}$, тобто множина ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\}}$.

Якщо ${\displaystyle A=B}$ вважають ${\displaystyle 2A=A+A}$, аналогічно ${\displaystyle 3A=2A+A}$ і т. д.

Якщо ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+}}$, то ${\displaystyle A}$ називається базисом ${\displaystyle n}$-го порядку.

Властивості

• Щільність ${\displaystyle d(A)=1}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A}$ збігається із множиною ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ всіх цілих невід'ємних чисел.
• Нерівність Шнірельмана

${\displaystyle d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)}$

• Нерівність Манна ― Дайсона

${\displaystyle d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\}}$

З нерівності Шнірельмана випливає, що будь-яка послідовність додатної щільності є базисом скінченного порядку. Застосування цього факту до адитивних задач, у яких часто підсумовуються послідовності нульової щільності, здійснюється за допомогою попереднього конструювання з заданих послідовностей нових з додатною щільністю. Наприклад, за допомогою доводиться, що послідовність ${\displaystyle \{p\}+\{p\}}$, де ${\displaystyle p}$ пробігає прості числа, має додатну щільність. Звідси випливає теорема Шнірельмана: існує таке ціле число ${\displaystyle c_{0}>0}$, що будь-яке натуральне число є сумою не більше ніж ${\displaystyle c_{0}}$ простих чисел. Ця теорема дає розв'язок так званої ослабленої проблеми Гольдбаха.

Варіації та узагальнення

Різновидом поняття щільності послідовності є поняття асимптотичної щільності, окремим випадком якої є .

Поняття щільності послідовності узагальнюється на числові послідовності, відмінні від натурального ряду, наприклад на послідовності цілих чисел у полях алгебричних чисел. Завдяки цьому вдається вивчати базиси в алгебричних полях.