AQUAL

AQUAL — це теорія гравітації, яка базується на модифікованій динаміці Ньютона (МОНД, MOND), але використовує лагранжеве формулювання для забезпечення виконання законів збереження. Вона була розроблена Джейкобом Бекенштейном і Мордехаєм Мілґромом у статті 1984 року «Чи вказує проблема відсутності маси на порушення ньютонівської гравітації?». «AQUAL» розшифровується як «квадратичний лагранжіан» (англ. A QUAdratic Lagrangian).

Це формулювання МОНД дозволило зробити успішні для вертикальної кінематики зір у Чумацькому Шляху, співвідношень для центральної поверхневої густини у галактиках, та деяких інших залежностей, які не може пояснити гіпотеза темної матерії.

Невиконання законів збереження у МОНД

Рівняння руху тіла з масою ${\displaystyle m}$ у полі сили тяжіння точкового тіла масою ${\displaystyle M}$, отримуване з МОНД:

${\displaystyle m\mu \left({\frac {a}{a_{0}}}\right){\vec {a}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}},}$

має серйозну ваду: воно не зберігає імпульс та момент імпульсу. Щоб переконатися в цьому, розглянемо два тіла з масами ${\displaystyle m\neq M}$ і вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ від тіла ${\displaystyle M}$ до тіла ${\displaystyle m}$; тоді з МОНД маємо

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)m{\vec {a}}_{m}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}}$

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)M{\vec {a}}_{M}={\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}}$

Що дає:

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}}{a_{0}}}\right)m{\vec {a}}_{m}+\mu \left({\frac {a_{M}}{a_{0}}}\right)M{\vec {a}}_{M}=0}$

Для малих прискорень ${\displaystyle \mu (x)\approx x}$, тоді:

${\displaystyle m{\frac {a_{m}}{a_{0}}}{\vec {a}}_{m}=-M{\frac {a_{M}}{a_{0}}}{\vec {a}}_{M}}$

${\displaystyle {\sqrt {m}}{\vec {a}}_{m}=-{\sqrt {M}}{\vec {a}}_{M}}$

Що після інтегрування дає:

${\displaystyle {\sqrt {m}}{\vec {v}}_{m}+{\sqrt {M}}{\vec {v}}_{M}={\vec {\text{const}}}}$

Що відрізняється від закону збереження імпульсу:

${\displaystyle m{\vec {v}}_{m}+M{\vec {v}}_{M}={\vec {\text{const}}}}$

Лагранжеве формулювання МОНД

Цю проблему можна вирішити шляхом виведення закону сили з лагранжіана ціною, можливо, зміни загальної форми закону сили. Тоді закони збереження можна було б отримати з лагранжіана звичайними засобами.

Лагранжіан (точніше, лагранжева густина) AQUAL записується схоже до Ньютонівського:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\rho v^{2}}{2}}-\rho \Phi -{\frac {1}{8\pi G}}a_{0}^{2}F\left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right)}$

Він призводить до модифікованого рівняння Пуассона:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mu \left({\frac {|\nabla \Phi |}{a_{0}}}\right)\nabla \Phi \right)=4\pi G\rho }$

де ${\displaystyle \mu (x)={\frac {dF(x^{2})}{dx}}}$, а передбачене прискорення:

${\displaystyle a=-\nabla \Phi }$

Ці рівняння зводяться до рівнянь MOND у сферично-симетричному випадку, проте вони дещо відрізняються у випадку диска, необхідного для моделювання спіральних або лінзоподібних галактик. Однак різниця становить лише 10–15%, тому на результати вона серйозно не впливає.

За словами Сандерса та МакГафа, однією з проблем AQUAL (або будь-якої скалярно-тензорної теорії, в якій скалярне поле входить як конформний фактор, що множить метрику Ейнштейна) є неспроможність AQUAL передбачити кількість гравітаційних лінз, які насправді спостерігаються в багатих скупченнях галактик.

Примітки

1. Bekenstein, J.; Milgrom, M. (1984-11). Does the missing mass problem signal the breakdown of Newtonian gravity?. The Astrophysical Journal. Т. 286. с. 7. doi:10.1086/162570. ISSN 0004-637X. Процитовано 4 лютого 2024.
2. Bienaymé, O.; Famaey, B.; Wu, X.; Zhao, H. S.; Aubert, D. (2009-06). Galactic kinematics with modified Newtonian dynamics. Astronomy & Astrophysics. Т. 500, № 2. с. 801—805. doi:10.1051/0004-6361/200809978. ISSN 0004-6361. Процитовано 4 лютого 2024.
3. Milgrom, Mordehai (11 вересня 2009). The central surface density of ‘dark haloes’ predicted by MOND. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Т. 398, № 2. с. 1023—1026. doi:10.1111/j.1365-2966.2009.15255.x. ISSN 0035-8711. Процитовано 4 лютого 2024.
4. Merritt, David (20 квітня 2020). A Philosophical Approach to MOND. Cambridge University Press. ISBN .
5. Sanders, Robert H.; McGaugh, Stacy S. (2002). Modified Newtonian dynamics as an alternative to dark matter. Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 40 (1): 263—317. arXiv:astro-ph/0204521. Bibcode:2002ARA&A..40..263S. doi:10.1146/annurev.astro.40.060401.093923.

Література

• Jacob Bekenstein & M. Milgrom (1984). Does the missing mass problem signal the breakdown of Newtonian gravity?. Astrophys. J. 286: 7—14. Bibcode:1984ApJ...286....7B. doi:10.1086/162570.
• Milgrom, M (1986). Solutions for the modified Newtonian dynamics field equation. Astrophys. J. 302: 617—625. Bibcode:1986ApJ...302..617M. doi:10.1086/164021.
• Bekenstein, Jacob D (2009). Relativistic MOND as an alternative to the dark matter paradigm. Nuclear Physics A. 827: 555—560. arXiv:0901.1524. Bibcode:2009NuPhA.827..555B. doi:10.1016/j.nuclphysa.2009.05.122.
• Kyu-Hyun Chae (2023) Breakdown of the Newton–Einstein Standard Gravity at Low Acceleration in Internal Dynamics of Wide Binary Stars. The Astrophysical Journal, Volume 952, Number 2, 128 DOI:10.3847/1538-4357/ace101