Гранична ознака порівняння

Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної прямої ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.

Твердження

Нехай задано два ряди ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ і ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$, де ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$, ${\displaystyle b_{n}>0}$ для будь-якого ${\displaystyle n}$. Якщо ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$, причому ${\displaystyle 0<c<\infty }$, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.

Доведення

Оскільки ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$, то для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує натуральне число ${\displaystyle n_{0}>0}$ таке, що всіх ${\displaystyle n\geq n_{0}}$, виконується нерівність ${\displaystyle \left|{\dfrac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$, що рівносильно:

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon ,}$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}.}$

Оскільки ${\displaystyle c>0}$, то можемо обрати ${\displaystyle \varepsilon }$ як завгодно малим, щоб ${\displaystyle c-\varepsilon >0}$. Тоді ${\displaystyle b_{n}<{\dfrac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$, і за ознакою порівняння, якщо ряд ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ є збіжним, то збіжним буде і ряд ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$.

Аналогічно для ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$, якщо ряд ${\displaystyle \sum _{n}{}a_{n}}$ є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$.

Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.

Приклад

Визначимо, чи буде збіжним ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}.}$

Для цього порівняємо його зі збіжним рядом

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Оскільки

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0,}$

тому початковий ряд також є збіжним.

Одностороння версія

Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ для будь-яких ${\displaystyle n}$. Тоді, якщо

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad 0\leq c<\infty ,}$

${\displaystyle \sum \limits _{n}b_{n}}$ є збіжним, тоді ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n}a_{n}}$ обов'язково буде збіжним.

Приклад

Нехай ${\displaystyle a_{n}={\dfrac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$ і ${\displaystyle b_{n}={\dfrac {1}{n^{2}}}}$ для будь-яких ${\displaystyle n}$. Тоді

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})}$

не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty ),}$

ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$ буде збіжним.

Обернена одностороння версія

Нехай ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ для будь-якого ${\displaystyle n}$. Якщо ряд ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$ розбіжний, а ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ збіжний, тоді обов'язково

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$

або

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0.}$

Головним тут є те, що у деякому сенсі числа ${\displaystyle a_{n}}$ більші за числа ${\displaystyle b_{n}}$.

Приклад

Нехай функція ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ — аналітична на одиничному крузі

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\},}$

і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції ${\displaystyle f}$ дорівнює ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$. Крім того, ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }1/n}$ є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0,}$

тобто

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR [ 13 травня 2021 у Wayback Machine.])
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR [ 5 грудня 2019 у Wayback Machine.])

Зовнішні лінки

• Pauls Online Notes on Comparison Test [ 14 липня 2014 у Wayback Machine.]