Ця стаття не містить . (липень 2011) |
Метод квадратного кореня — метод, що застосовується для розв'язку СЛАР з симетричною матрицею коефіцієнтів при змінних.
Цей метод відноситься до категорії точних чисельних методів.
Якщо в системи лінійних алгебраїчних рівнянь матриця є невиродженою () та симетричною (), то розв'язок можна знайти методом квадратного кореня.
Опис методу
Метод використовується для СЛАР виду:
де .
Процес розв'язання СЛАР складається з двох етапів:
- Прямий хід, при якому початкова симетрична матриця прирівінюється добутком двох взаємно транспонованих трикутних матриць:
- Обернений метод квадратного кореня, при якому відбувається послідовне розв'язання двох трикутних систем:
Прямий хід
Обернений метод квадратного кореня
.
Матриця симетрична, то ми можемо розкласти її на добуток матриць , де — одинична нижня трикутна матриця; — діагональна матриця.
Отримаємо систему:
Розв'язок отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР:
- та
- .
Порівняно з загальнішими методами (метод Гауса чи LU-розклад матриці) він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпідручник має книгу на тему Чисельні методи. Лабораторний практикум/Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь |
- Верещак, Ростислав (8 червня 2014). Розв'язок СЛАР методом квадратних коренів (укр.). Процитовано 13 листопада 2023.
- Шахно, Дудикевич, Левицька, С.М., А.Т., С.М. (2009). Практична реалізація чисельних методів лінійної алгебри (українська) . Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка. с. 13—16.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno lipen 2011 Metod kvadratnogo korenya metod sho zastosovuyetsya dlya rozv yazku SLAR z simetrichnoyu matriceyu koeficiyentiv pri zminnih Cej metod vidnositsya do kategoriyi tochnih chiselnih metodiv Yaksho v sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan A x b displaystyle Ax b matricya A displaystyle A ye nevirodzhenoyu d e t A 0 displaystyle detA neq 0 ta simetrichnoyu A A T displaystyle A A T to rozv yazok mozhna znajti metodom kvadratnogo korenya Opis metoduMetod vikoristovuyetsya dlya SLAR vidu a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n b n displaystyle begin cases a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n b n end cases de a i j a j i i 1 n j 1 n displaystyle a ij a ji i overline 1 n j overline 1 n Proces rozv yazannya SLAR skladayetsya z dvoh etapiv Pryamij hid pri yakomu pochatkova simetrichna matricya pririvinyuyetsya dobutkom dvoh vzayemno transponovanih trikutnih matric A U T U displaystyle A U T cdot U Obernenij metod kvadratnogo korenya pri yakomu vidbuvayetsya poslidovne rozv yazannya dvoh trikutnih sistem U T y b U x y displaystyle begin matrix U T y b Ux y end matrix Pryamij hid Obernenij metod kvadratnogo korenya LDL rozklad matriciMatricya A displaystyle A simetrichna to mi mozhemo rozklasti yiyi na dobutok matric A L D L T displaystyle A LDL T de L displaystyle L odinichna nizhnya trikutna matricya D displaystyle D diagonalna matricya Otrimayemo sistemu L D L T x b displaystyle LDL T cdot x b Rozv yazok x displaystyle x otrimayemo poslidovno rozv yazavshi dvi trikutni SLAR L D y b displaystyle LD cdot y b ta L T x y displaystyle L T cdot x y Porivnyano z zagalnishimi metodami metod Gausa chi LU rozklad matrici vin stijkishij i potrebuye vdvichi menshe arifmetichnih operacij Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Vikipidruchnik maye knigu na temu Chiselni metodi Laboratornij praktikum Rozv yazuvannya sistem linijnih algebrayichnih rivnyan Vereshak Rostislav 8 chervnya 2014 Rozv yazok SLAR metodom kvadratnih koreniv ukr Procitovano 13 listopada 2023 Shahno Dudikevich Levicka S M A T S M 2009 Praktichna realizaciya chiselnih metodiv linijnoyi algebri ukrayinska Lviv Vidavnichij centr LNU im Ivana Franka s 13 16