Підстановка Абеля

Підстановка Абеля була запропонована Н.Г. Абелем для обчислення значень інтегралів типу:

${\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {2m+1}{2}}}=\int {dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt,}$

де ${\displaystyle m\!}$ є цілим додатнім числом, ${\displaystyle Y=ax^{2}+bx+c\!}$, а змінна ${\displaystyle t\!}$ задається виразом (1) (див Розв'язок).

Розв'язок

Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу ${\displaystyle Y\!}$ так

${\displaystyle t=({\sqrt {Y}})'={Y' \over 2{\sqrt {Y}}}={ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},}$          (1)

де враховано, що похідна ${\displaystyle Y'=2ax+b\!}$.

Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на ${\displaystyle 4Y\!}$ матимемо, що

${\displaystyle 4t^{2}Y=(Y')^{2}={Y' \over 2{\sqrt {Y}}}=4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}.}$

Далі, віднявши цей вираз від добутку ${\displaystyle 4aY=4a^{2}x^{2}+4abx+4ac\!}$ отримаємо в результаті

${\displaystyle 4aY-4t^{2}Y=4Y(a-t^{2})=4a^{2}x^{2}+4abx+4ac-(4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2})=4ac-b^{2}.\!}$

Звідки ${\displaystyle Y\!}$ визначається як

${\displaystyle Y={4ac-b^{2} \over 4}{1 \over a-t^{2}}}$

й відповідно

${\displaystyle Y^{m}=\left({4ac-b^{2} \over 4}\right)^{m}{1 \over (a-t^{2})^{m}}.}$          (2)

З виразу (1) також можна отримати наступну рівність

${\displaystyle t{\sqrt {Y}}=ax+{\frac {b}{2}},}$

продиференціювавши яку, з врахуванням що ${\displaystyle d({\sqrt {Y}})=tdx\!}$ (див. вираз (1)), знаходимо

${\displaystyle (t{\sqrt {Y}})'=dt{\sqrt {Y}}+td({\sqrt {Y}})=dt{\sqrt {Y}}+t^{2}dx=adx.}$

Відповідно, після рознесення виразів з ${\displaystyle t\!}$ та з ${\displaystyle x\!}$ по різні боки цього рівняння, матимемо

${\displaystyle {dx \over {\sqrt {Y}}}={dt \over (a-t^{2})}.}$          (3)

Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що

${\displaystyle {dx \over {\sqrt {Y}}}{1 \over Y^{m}}={dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}={dt \over (a-t^{2})}\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt.}$

Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:

${\displaystyle \int {dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}=\int \left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt}$

де можна легко провести інтегрування по змінній ${\displaystyle t\!}$ для цілих додатних значень ${\displaystyle m\!}$ й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної ${\displaystyle t\!}$ (див. вираз (1)).

Приклади

Для випадку ${\displaystyle m=1\!}$ матимемо:

${\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {3}{2}}}={4 \over 4ac-b^{2}}\int dt={4t \over {4ac-b^{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)\;\;{ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.}$

Для випадку ${\displaystyle m=2\!}$ матимемо:

${\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {5}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\int (a-t^{2})dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\left(at-{\frac {t^{3}}{3}}\right),}$

куди потім можна підставити явне значення для ${\displaystyle t\!}$ (див. вираз (1)) й спростити результат.

Для випадку ${\displaystyle m=3\!}$ матимемо:

${\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {7}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\int (a-t^{2})^{2}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\left(a^{2}t-{\frac {2a}{3}}t^{3}+{\frac {t^{5}}{5}}\right)}$

й так далі.

Див. також

• Таблиця інтегралів
• Таблиця інтегралів ірраціональних функцій
• Нільс Генрік Абель
• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Джерела

Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.