Принцип максимуму Понтрягіна — необхідна умова оптимальності в задачах теорії оптимального управління.
Нехай рух об'єкта описується системою диференціальних рівнянь
- ,
де х = (х1, …, хn) — векторна функція часу, яка описує траєкторію об'єкта,
u = (u1, …,um) — керування, яке вибирається в довільний момент часу та із заданої області U,
f (х, u) = (f1(x, u),..., fn(х, u)) — векторна функція х і u.
Розглядається задача вибору керування u = u (t) на відрізку [t0, t1] за умови мінімізації функціоналу
- .
а також при фіксованих положеннях об'єкта в моменти t0 і t1.
Нехай u0 (t) — оптимальне керування, що розв'язує поставлену задачу, а х0(t) — відповідна траєкторія.
Тоді Принцип максимуму Понтрягіна стверджує, що за досить загальних умов необхідною умовою оптимальності керування u (t) є існування неперервних функцій φ0, φ1, …, φn(t), які на відрізку [t0, t1] задовольняють систему диференціальних рівнянь
і таких, що лінійна форма
при будь-яких t з відрізка [t0, t1] досягає максимуму по u при u = u0 (t).
Принцип максимуму Понтрягіна служить відправною точкою розв'язування багатьох теоретичних задач оптимального управління і розробки відповідних обчислювальних методів.
Використання
При вирішенні варіаційних задач класичними методами труднощі виникають у тих випадках, коли відшукувані управляючі дії не належать до класу безперервних функцій або коли на змінні задачі накладені обмеження типу нерівностей. Такого роду завдання носять назву завдань про швидкодію і вирішення їх можна отримати, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна.
У вирішенні завдань ракетодинаміки зі складними обмеженнями принцип максимуму Понтрягіна завоював особливу популярність, з чим пов'язаний великий прогрес, досягнутий у всьому світі при вирішенні практичних завдань ракетодинаміки.
Див. також
Джерела
- ПОНТРЯГІНА ПРИНЦИП МАКСИМУМУ [ 17 листопада 2016 у Wayback Machine.]
- Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.:«Наука», 1973. — 832 с. [ 19 січня 2015 у Wayback Machine.](рос.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Princip maksimumu Pontryagina neobhidna umova optimalnosti v zadachah teoriyi optimalnogo upravlinnya Nehaj ruh ob yekta opisuyetsya sistemoyu diferencialnih rivnyan d x d t f x u displaystyle frac dx dt f x u de h h1 hn vektorna funkciya chasu yaka opisuye trayektoriyu ob yekta u u1 um keruvannya yake vibirayetsya v dovilnij moment chasu ta iz zadanoyi oblasti U f h u f1 x u fn h u vektorna funkciya h i u Rozglyadayetsya zadacha viboru keruvannya u u t na vidrizku t0 t1 za umovi minimizaciyi funkcionalu I t 0 t 1 f 0 x t u t d t displaystyle I int t 0 t 1 f 0 x t u t dt a takozh pri fiksovanih polozhennyah ob yekta v momenti t0 i t1 Nehaj u0 t optimalne keruvannya sho rozv yazuye postavlenu zadachu a h0 t vidpovidna trayektoriya Todi Princip maksimumu Pontryagina stverdzhuye sho za dosit zagalnih umov neobhidnoyu umovoyu optimalnosti keruvannya u t ye isnuvannya neperervnih funkcij f0 f1 fn t yaki na vidrizku t0 t1 zadovolnyayut sistemu diferencialnih rivnyan d f i t d t j 0 n f j x 0 u 0 x j f j t d f 0 t d t 0 displaystyle frac d varphi i t dt sum j 0 n frac partial f j x 0 u 0 partial x j varphi j t frac d varphi 0 t dt 0 i takih sho linijna forma i 0 n f i t f i x t u t displaystyle sum i 0 n varphi i t f i x t u t pri bud yakih t z vidrizka t0 t1 dosyagaye maksimumu po u pri u u0 t Princip maksimumu Pontryagina sluzhit vidpravnoyu tochkoyu rozv yazuvannya bagatoh teoretichnih zadach optimalnogo upravlinnya i rozrobki vidpovidnih obchislyuvalnih metodiv VikoristannyaPri virishenni variacijnih zadach klasichnimi metodami trudnoshi vinikayut u tih vipadkah koli vidshukuvani upravlyayuchi diyi ne nalezhat do klasu bezperervnih funkcij abo koli na zminni zadachi nakladeni obmezhennya tipu nerivnostej Takogo rodu zavdannya nosyat nazvu zavdan pro shvidkodiyu i virishennya yih mozhna otrimati vikoristovuyuchi princip maksimumu Pontryagina U virishenni zavdan raketodinamiki zi skladnimi obmezhennyami princip maksimumu Pontryagina zavoyuvav osoblivu populyarnist z chim pov yazanij velikij progres dosyagnutij u vsomu sviti pri virishenni praktichnih zavdan raketodinamiki Div takozhMehanika Lagranzha Mehanika GamiltonaDzherelaPONTRYaGINA PRINCIP MAKSIMUMU 17 listopada 2016 u Wayback Machine Korn G A Korn T M Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov M Nauka 1973 832 s 19 sichnya 2015 u Wayback Machine ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi